Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos:
F: R^4 R^3, onde
F(x, y, s, t)=(x-y+s+t, x+2 s-t, x+y+3 s-3 t)

Passo 1

O enunciado pede para F:R^4toR^3 dada por
F(x,y,s,t) = (,x - y + s + t,; x + 2s - t,; x + y + 3s - 3t,)
encontrar uma base e a dimensão do núcleo ker F e da imagem ImF, e decidir se F é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Vamos usar:
– construção da matriz de F na base canônica;
– resolução de Av=0 para ker F;
– teorema do posto-nulidade e seleção de colunas independentes para ImF.

Passo 2

Montamos a matriz A de F relativa às bases canônicas de R^4 e R^3. As colunas são as imagens de (1,0,0,0), (0,1,0,0), (0,0,1,0), (0,0,0,1):
A = 1 & -1 & 1 & 1 1 & 0 & 2 & -1 1 & 1 & 3 & -3

Passo 3

Para
Da segunda equação (;x = -2s + t]. Substituindo na primeira e na terceira obtemos

Passo 4

Como s e t são parâmetros livres ( s=alpha,;t=beta), temos
(x,y,s,t) = l(-2alpha+beta,,-alpha+2beta,;alpha,;betar) = alpha,(-2,-1,1,0) + beta,(1,2,0,1)
Logo uma base de ker F é
,(-2,-1,1,0),;(1,2,0,1),
e dimker F = 2.

Passo 5

Pelo teorema do posto-nulidade,
dimker F + dimImF = 4 Longrightarrow dimImF = 4 - 2 = 2
Alternativamente, vemos que as colunas 1 e 2 de A,
(1,1,1)^T,;(-1,0,1)^T,
são linearmente independentes e geram a imagem. Assim
ImF = span(1,1,1),,(-1,0,1),
com dimImF = 2.

Passo 6

Como ker Fneq0, F não é injetora. E como dimImF=2<3, F não é sobrejetora. Portanto F também não é isomorfismo (que exigiria bijeção).

Resposta

Base de ker F: ,(-2,-1,1,0),;(1,2,0,1)
dimker F = 2
Base de ImF: (1,1,1),,(-1,0,1)
dimImF = 2
F não é injetora, não é sobrejetora e, portanto, não é isomorfismo.

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