Obtenha uma base e a dimensão do núcleo e da imagem das seguintes transformações lineares. Verifique se são injetoras, sobrejetoras, isomorfismos: , onde
Passo 1
O enunciado pede para dada por
encontrar uma base e a dimensão do núcleo e da imagem , e decidir se é injetora, sobrejetora ou isomorfismo. Vamos usar:
– construção da matriz de na base canônica;
– resolução de para ;
– teorema do posto-nulidade e seleção de colunas independentes para .
Passo 2
Montamos a matriz de relativa às bases canônicas de e . As colunas são as imagens de , , , :
Passo 3
Para
Da segunda equação (;x = -2s + t]. Substituindo na primeira e na terceira obtemos
Passo 4
Como s e t são parâmetros livres (s=alpha,;t=beta), temos