Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ).
V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right.; primeira linha de A é nula \}\

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais (soma de matrizes e multiplicação por escalar) e o subconjunto
W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid \text{a primeira linha de }A\text{ é nula}\}.é
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
V=M_{2}(\mathbb{R}),\qquad W=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a & b\end{pmatrix} \mid a,b\in\mathbb{R}\right\}.

Passo 2

O que significa ser um subespaço vetorial (de forma prática e direta para a prova)? Uma parte muito usada e suficiente: mostrar que
  1. W não é vazio (por exemplo, contém a matriz zero);
  2. W é fechado sob soma: se A\in W e B\in W então A+B\in W;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar: se A\in W e c\in\mathbb{R} então cA\in W.
    Se essas três propriedades valem, então W é subespaço de V. Vou provar cada uma passo a passo, explicando direitinho o que ocorre nas entradas da matriz.

Passo 3

Verificar que W não é vazio — mostrar que a matriz zero está em W. A matriz zero em M_{2}(\mathbb{R}) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
A primeira linha dessa matriz é (0,0), ou seja, nula. Logo 0\in W. Isso garante que W não é vazio.

Passo 4

Fechamento por soma — explicação e prova concreta. Tome duas matrizes arbitrárias A,B\in W. Pela definição de W podemos escrever
A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
onde a_{21},a_{22},b_{21},b_{22}\in\mathbb{R}. A soma A+B é calculada entrada a entrada:
A+B=\begin{pmatrix}0+0 & 0+0 \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}.
Observe que a primeira linha continua sendo (0,0), ou seja, nula. Portanto A+B\in W. Assim W é fechado sob soma.

Passo 5

Fechamento por multiplicação escalar — explicação e prova concreta. Tome uma matriz arbitrária A\in W escrita como
A=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a_{21} & a_{22}\end{pmatrix}
e um escalar c\in\mathbb{R}. O produto escalar cA é
cA=\begin{pmatrix}c\cdot 0 & c\cdot 0 \\\ c\cdot a_{21} & c\cdot a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ c a_{21} & c a_{22}\end{pmatrix}.
A primeira linha permanece (0,0), então cA\in W. Logo W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 6

Conclusão sobre subespaço. Já verificamos: W contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, pelos critérios usuais, W é um subespaço vetorial de V.

Passo 7

Um comentário extra (útil na prova para dar intuição): todo elemento de W tem a forma
\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a & b\end{pmatrix} = a\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix} + b\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix}.
Assim W é gerado pelas matrizes
E_1=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 1 & 0\end{pmatrix},\qquad E_2=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 1\end{pmatrix},
que são linearmente independentes; portanto \dim(W)=2. Isso ajuda a visualizar W como um espaço de dimensão 2 isomorfo a \mathbb{R}^{2}.

Resposta

Sim. W é um subespaço vetorial de V=M_{2}(\mathbb{R}).

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