Exercício 2. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço vetorial ( V,+, \cdot ). V=M_{2}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W=\left\{A \in M_{2}(\mathbb{R})\right.; primeira linha de A é nula \}\
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial V=M_{2}(\mathbb{R}) com as operações usuais (soma de matrizes e multiplicação por escalar) e o subconjunto
W=\{A\in M_{2}(\mathbb{R}) \mid \text{a primeira linha de }A\text{ é nula}\}.
A pergunta é: verificar se W é um subespaço vetorial de V.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
V=M_{2}(\mathbb{R}),\qquad W=\left\{\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ a & b\end{pmatrix} \mid a,b\in\mathbb{R}\right\}.
Passo 2
O que significa ser um subespaço vetorial (de forma prática e direta para a prova)? Uma parte muito usada e suficiente: mostrar que
W não é vazio (por exemplo, contém a matriz zero);
W é fechado sob soma: se A\in W e B\in W então A+B\in W;
W é fechado sob multiplicação por escalar: se A\in W e c\in\mathbb{R} então cA\in W.
Se essas três propriedades valem, então W é subespaço de V. Vou provar cada uma passo a passo, explicando direitinho o que ocorre nas entradas da matriz.
Passo 3
Verificar que W não é vazio — mostrar que a matriz zero está em W. A matriz zero em M_{2}(\mathbb{R}) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0 \\\\ 0 & 0\end{pmatrix}.
A primeira linha dessa matriz é (0,0), ou seja, nula. Logo 0\in W. Isso garante que W não é vazio.
Passo 4
Fechamento por soma — explicação e prova concreta. Tome duas matrizes arbitrárias A,B\in W. Pela definição de W podemos escrever
e um escalar c\in\mathbb{R}. O produto escalar cA é
cA=\begin{pmatrix}c\cdot 0 & c\cdot 0 \\\ c\cdot a_{21} & c\cdot a_{22}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0 & 0 \\\ c a_{21} & c a_{22}\end{pmatrix}.
A primeira linha permanece (0,0), então cA\in W. Logo W é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 6
Conclusão sobre subespaço. Já verificamos: W contém a matriz zero, é fechado sob soma e é fechado sob multiplicação por escalar. Portanto, pelos critérios usuais, W é um subespaço vetorial de V.
Passo 7
Um comentário extra (útil na prova para dar intuição): todo elemento de W tem a forma