Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto
é um subespaço vetorial do espaço
.
, munido das operações usuais e
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se
(com as operações usuais) e
fazem de
um subespaço vetorial de
. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: precisamos mostrar que
não é vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que
não é vazio exibindo um polinômio que satisfaça a condição
. O polinômio nulo
pertence a
e satisfaz
logo
. Assim,
.
Passo 3
Mostramos que
é fechado sob soma. Sejam
. Então
Para o polinômio soma
temos
Pela hipótese segue
logo
. Isso prova o fechamento sob soma.
Passo 4
Mostramos que
é fechado sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Defina
. Então
Como
, temos
logo
. Assim,
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 5
Como
não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é subespaço vetorial de
.
Resposta
Sim,
é um subespaço vetorial de
.