Exercício 1. Verifique se em cada um dos itens abaixo o subconjunto W é um subespaço vetorial do espaço \operatorname{vetorial}(V,+, \cdot).
V \doteq \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}), munido das operações usuais e W \doteq\left\{p \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) ; p(0)=p(1)\right\}.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
V = \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R})
(com as operações usuais) e
W = \{\,p \in \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}) \mid p(0)=p(1)\}
fazem de W um subespaço vetorial de V. O conteúdo envolvido é a definição de subespaço: precisamos mostrar que W não é vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que W não é vazio exibindo um polinômio que satisfaça a condição p(0)=p(1). O polinômio nulo
p(x)=0
pertence a \mathscr{P}_n(\mathbb{R}) e satisfaz
p(0)=0=p(1),
logo p\in W. Assim, W\neq\emptyset.

Passo 3

Mostramos que W é fechado sob soma. Sejam p,q\in W. Então
p(0)=p(1) \quad\text{e}\quad q(0)=q(1).
Para o polinômio soma r=p+q temos
r(0)=p(0)+q(0) \quad\text{e}\quad r(1)=p(1)+q(1).
Pela hipótese segue
r(0)=p(1)+q(1)=r(1),
logo r\in W. Isso prova o fechamento sob soma.

Passo 4

Mostramos que W é fechado sob multiplicação por escalar. Seja p\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Defina s=\alpha p. Então
s(0)=\alpha\,p(0) \quad\text{e}\quad s(1)=\alpha\,p(1).
Como p(0)=p(1), temos
s(0)=\alpha\,p(1)=s(1),
logo s\in W. Assim, W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 5

Como W não é vazio, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é subespaço vetorial de V.

Resposta

Sim, W é um subespaço vetorial de \mathscr{P}_{n}(\mathbb{R}).

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