1. Sejam A=\left[\begin{array}{cccc}-3 & 0 & 0 & -6 \\\\ 0 & 1 & 0 & 0 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\\\ 2 & 0 & 0 & 2\end{array}\right], b=\left[\begin{array}{c}0 \\\\ 1 \\\\ 0 \\\\ -1\end{array}\right].
    (a) Encontre \operatorname{det} A
    (b) Se existir, encontre a inversa de A e \operatorname{det} A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = \begin{pmatrix} -3 & 0 & 0 & -6\\\\ 0 & 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 & 0\\\\ 2 & 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}
e o vetor b, mas b não é usado nos itens (a) e (b). Precisamos calcular (a) \det A e, se existir, (b) A^{-1} e \det A^{-1}. Para isso vamos usar propriedades de determinantes de blocos e a fórmula da inversa de uma matriz 2\times2.

Passo 2

Observamos que as colunas 2 e 3 formam um bloco identidade de ordem 2, isolando um bloco 2\times2 nas colunas 1 e 4. Logo
\det A = \det\begin{pmatrix}-3 & -6\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}\,\cdot\,\det(I_2).
Calculando o determinante do bloco 2\times2:
\det\begin{pmatrix}-3 & -6\\\ 2 & 2\end{pmatrix} = (-3)\cdot2 \;-\;(-6)\cdot2 = -6 + 12 = 6,
e \det(I_2)=1. Portanto,
\det A = 6.]

Passo 3

Como \det A=6\neq0, A é invertível. A parte não trivial está no bloco
B = \begin{pmatrix}-3 & -6\\\ 2 & 2\end{pmatrix}, \quad \det B = 6.
A inversa de B é
B^{-1} = \frac{1}{6}\begin{pmatrix}2 & 6\\\ -2 & -3\end{pmatrix}.
Assim, na forma 4\times4 obtemos
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{2}{6} & 0 & 0 & \frac{6}{6}\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] \frac{-2}{6} & 0 & 0 & \frac{-3}{6} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -\frac{1}{3} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}.]

Passo 4

Vale em geral \det(A^{-1}) = 1/\det(A). Como \det A=6, segue
\det A^{-1} = \frac{1}{6}.

Resposta

(a) \det A = 6.
(b)
A^{-1} = \begin{pmatrix} \frac{1}{3} & 0 & 0 & 1\\[4pt] 0 & 1 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 0 & 1 & 0\\[4pt] -\frac{1}{3} & 0 & 0 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}, \quad \det A^{-1} = \frac{1}{6}.]

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