Exercício 7. Dê um exemplo de função que:
seja descontínua em todo \mathbb{R}-\{0\}.
Passo 1
O enunciado pede: dar um exemplo de uma função que seja descontínua em todo \mathbb{R}-\{0\}.
Informações relevantes: domínio é \mathbb{R}; a função pode ser qualquer que satisfaça "descontínua em todo ponto a com a\neq0". Não há outras restrições no enunciado.
Passo 2
Vou propor a função abaixo (essa é uma construção clássica, simples e que funciona bem):
f(x)= \begin{cases} 0, & x=0,\\[4pt] x, & x\neq0\text{ e }x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & x\neq0\text{ e }x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}
Em palavras: f(0)=0. Para x\neq0, se x é racional então f(x)=x; se x é irracional então f(x)=0.]
Passo 3
Mostro que f é contínua em 0. Vou usar uma demonstração \varepsilon-\delta simples (é bom treinar isso para prova): pegue um \varepsilon>0 qualquer e escolha \delta=\varepsilon. Se |x-0|<\delta então:
se x\in\mathbb{Q} então |f(x)-f(0)|=|x-0|<\delta=\varepsilon;
se x\notin\mathbb{Q} então |f(x)-f(0)|=|0-0|=0<\varepsilon.
Como sempre conseguimos |f(x)-f(0)|<\varepsilon quando |x|<\delta, concluímos que \lim_{x\to0}f(x)=f(0), isto é, f é contínua em 0.
Passo 4
Agora mostro que f é descontínua em qualquer ponto a\neq0. Vamos separar em dois casos (isso é didático e direto na prova).
Caso A: a\neq0 e a\in\mathbb{Q}. Então f(a)=a\neq0. Considere a sequência
x_n = a + \frac{\sqrt{2}}{n}.
Cada x_n é irracional (soma de racional a com irracional \sqrt{2}/n é irracional) e x_n\to a. Para todo n temos f(x_n)=0. Logo \lim_{n\to\infty} f(x_n)=0\neq a=f(a). Portanto a função não é contínua em a.
Caso B: a\neq0 e a\notin\mathbb{Q}. Então f(a)=0. Como os racionais são densos em \mathbb{R}, existe uma sequência de racionais r_n tal que r_n\to a (por exemplo, as aproximações decimais truncadas de a). Para esses r_n temos f(r_n)=r_n e portanto \lim_{n\to\infty} f(r_n)=\lim_{n\to\infty} r_n = a. Como a\neq0=f(a), segue que \lim_{x\to a} f(x) não é igual a f(a). Logo f não é contínua em a.
Passo 5
Resumo do raciocínio: em 0 as oscilações entre valores x (quando racional) e 0 (quando irracional) tendem para 0, por isso a função é contínua em 0. Em qualquer ponto a\neq0 posso aproximar a por uma sequência de pontos do tipo diferente (racionais se a é irracional, irracionais se a é racional), e as imagens ao longo dessa sequência convergem para um valor diferente de f(a). Isso prova a descontinuidade em todo a\neq0.
Resposta
f(x)= \begin{cases} 0, & x=0,\\[4pt] x, & x\neq0\text{ e }x\in\mathbb{Q},\\[4pt] 0, & x\neq0\text{ e }x\notin\mathbb{Q}. \end{cases}]