Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
;
Passo 1
O enunciado pede para verificar quais das classificações “aberto” e/ou “fechado” se aplicam ao conjunto
.
Informações dadas: o conjunto é , que está entendido como um subconjunto do espaço dos números reais
com a topologia usual (ou seja, a noção habitual de vizinhança/intervalo aberto).
Pergunta: o conjunto é aberto? é fechado? pode ser ambos? nenhum dos dois?
Informações dadas: o conjunto é
Pergunta: o conjunto
Passo 2
Definição (aberto, forma prática em
).
Um conjunto é aberto se, para todo ponto
, existe
tal que o intervalo aberto
está contido em
.
Explicação intuitiva: todo ponto do conjunto tem uma “margem” (um pequeno intervalo) ao seu redor que não sai do conjunto. Essa margem pode depender do ponto.
Um conjunto
Explicação intuitiva: todo ponto do conjunto tem uma “margem” (um pequeno intervalo) ao seu redor que não sai do conjunto. Essa margem pode depender do ponto.
Passo 3
Aplicando a definição de aberto a
. Seja um ponto arbitrário
. Então
e
. Defina
Como
, podemos escolher
. Agora verificamos que
e
Na verdade, pelas desigualdades estritas iniciais temos
e
, logo
Como a escolha de
foi arbitrária, para todo
existe
com
. Portanto
é aberto.
Passo 4
Definição (fechado). Um conjunto
é fechado se o seu complemento
é aberto. Uma outra caracterização equivalente:
é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou seja, se toda sequência em
que converge em
tem o limite em
).
Passo 5
Aplicando a definição de fechado a
. Observe a sequência
para
. Cada termo satisfaz
e
O limite
não pertence a
. Como existe uma sequência em
que converge para um ponto que não está em
, concluímos que
não contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, não é fechado. (Alternativa equivalente: o complemento
não é aberto porque, por exemplo, o ponto
não tem nenhum intervalo aberto centrado em
contido no complemento.)
Passo 6
Resumo e conclusão didática curta:
é um típico intervalo aberto — todo ponto interior tem uma pequena margem inteira dentro do conjunto — por isso é aberto. Mas faltam os pontos extremos
e
, que são pontos de acumulação do conjunto e não pertencem a ele, então o conjunto não é fechado.