Exercício 1. Verifique quais dos conjuntos abaixo são abertos e/ou fechados;
(1,3);

Passo 1

O enunciado pede para verificar quais das classificações “aberto” e/ou “fechado” se aplicam ao conjunto (1,3).
Informações dadas: o conjunto é (1,3), que está entendido como um subconjunto do espaço dos números reais \mathbb{R} com a topologia usual (ou seja, a noção habitual de vizinhança/intervalo aberto).
Pergunta: o conjunto (1,3) é aberto? é fechado? pode ser ambos? nenhum dos dois?

Passo 2

Definição (aberto, forma prática em \mathbb{R}).
Um conjunto U \subset \mathbb{R} é aberto se, para todo ponto x \in U, existe \varepsilon>0 tal que o intervalo aberto (x-\varepsilon,x+\varepsilon) está contido em U.
Explicação intuitiva: todo ponto do conjunto tem uma “margem” (um pequeno intervalo) ao seu redor que não sai do conjunto. Essa margem pode depender do ponto.

Passo 3

Aplicando a definição de aberto a (1,3). Seja um ponto arbitrário x\in(1,3). Então \;x-1>0 e 3-x>0. Defina
\delta=\min\{\,x-1,\;3-x\,\}.
Como \delta>0, podemos escolher \varepsilon=\delta. Agora verificamos que
x-\varepsilon = x-\delta \ge x-(x-1)=1
e
x+\varepsilon = x+\delta \le x+(3-x)=3.
Na verdade, pelas desigualdades estritas iniciais temos x-\delta>1 e x+\delta<3, logo
(x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(1,3).
Como a escolha de x foi arbitrária, para todo x\in(1,3) existe \varepsilon>0 com (x-\varepsilon,x+\varepsilon)\subset(1,3). Portanto (1,3) é aberto.

Passo 4

Definição (fechado). Um conjunto F\subset\mathbb{R} é fechado se o seu complemento \mathbb{R}\setminus F é aberto. Uma outra caracterização equivalente: F é fechado se contém todos os seus pontos de acumulação (ou seja, se toda sequência em F que converge em \mathbb{R} tem o limite em F).

Passo 5

Aplicando a definição de fechado a (1,3). Observe a sequência \;x_n = 1+\tfrac{1}{n}\; para n=1,2,3,\dots. Cada termo satisfaz x_n\in(1,3) e
\lim_{n\to\infty} x_n = 1.
O limite 1 não pertence a (1,3). Como existe uma sequência em (1,3) que converge para um ponto que não está em (1,3), concluímos que (1,3) não contém todos os seus pontos de acumulação, ou seja, não é fechado. (Alternativa equivalente: o complemento \mathbb{R}\setminus(1,3)=(-\infty,1]\cup[3,\infty) não é aberto porque, por exemplo, o ponto 1 não tem nenhum intervalo aberto centrado em 1 contido no complemento.)

Passo 6

Resumo e conclusão didática curta: (1,3) é um típico intervalo aberto — todo ponto interior tem uma pequena margem inteira dentro do conjunto — por isso é aberto. Mas faltam os pontos extremos 1 e 3, que são pontos de acumulação do conjunto e não pertencem a ele, então o conjunto não é fechado.

Resposta

(1,3) é aberto e não é fechado.

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