Considere o campo de vetores \underset{F}{\rightarrow}(x, y, z)=\left(x y z, x^{2}, y z\right). Existe um campo vetorial \underset{G}{\rightarrow}, tal que \nabla \times \underset{G}{\rightarrow}=\underset{F}{\rightarrow}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\underset{F}{\rightarrow}(x,y,z)=\bigl(xyz,\;x^{2},\;yz\bigr)
e pergunta se existe algum campo vetorial \underset{G}{\rightarrow} tal que
\nabla\times\underset{G}{\rightarrow}=\underset{F}{\rightarrow}.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função \underset{F}{\rightarrow} está definida por componentes polinomiais em (x,y,z).
  • A pergunta é sobre a existência de um potencial vetorial \underset{G}{\rightarrow} cujo rotor (curl) seja \underset{F}{\rightarrow}.
    Não fazemos ainda nenhum cálculo neste passo, só listamos o que foi pedido e o que foi dado.

Passo 2

Idea chave (propriedade necessária): para qualquer campo vetorial suficientemente suave \underset{G}{\rightarrow} vale sempre
\nabla\cdot\bigl(\nabla\times\underset{G}{\rightarrow}\bigr)=0.
Explicação didática dessa identidade:
  • O operador \nabla\times (rotor) toma um campo vetorial \underset{G}{\rightarrow}=(G_1,G_2,G_3) e produz outro campo com componentes
\nabla\times\underset{G}{\rightarrow}=\Bigl(\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z},\; \frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x},\; \frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}\Bigr).
  • O operador \nabla\cdot (divergência) de um campo H=(H_1,H_2,H_3) é
\nabla\cdot H=\frac{\partial H_1}{\partial x}+\frac{\partial H_2}{\partial y}+\frac{\partial H_3}{\partial z}.
  • Aplicando a divergência ao rotor e usando que as derivadas parciais mistas são iguais (assumindo regularidade \mathcal{C}^2 de G_i), obtemos cancelamentos:
\begin{aligned} \nabla\cdot\bigl(\nabla\times\underset{G}{\rightarrow}\bigr) &=\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\frac{\partial G_3}{\partial y}-\frac{\partial G_2}{\partial z}\Bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(\frac{\partial G_1}{\partial z}-\frac{\partial G_3}{\partial x}\Bigr)\\\ &\quad +\frac{\partial}{\partial z}\Bigl(\frac{\partial G_2}{\partial x}-\frac{\partial G_1}{\partial y}\Bigr)\\\ &=\frac{\partial^2 G_3}{\partial x\partial y}-\frac{\partial^2 G_2}{\partial x\partial z} +\frac{\partial^2 G_1}{\partial y\partial z}-\frac{\partial^2 G_3}{\partial y\partial x}\\\ &\quad +\frac{\partial^2 G_2}{\partial z\partial x}-\frac{\partial^2 G_1}{\partial z\partial y}=0. \end{aligned}
  • Conclusão: uma condição necessária para que exista \underset{G}{\rightarrow} com \nabla\times\underset{G}{\rightarrow}=\underset{F}{\rightarrow} é que
\nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=0\quad\text{em todo o domínio considerado.}í

Passo 3

Calcular a divergência de \underset{F}{\rightarrow} explicitamente. Pela definição,
\nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(xyz\bigr) +\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial z}\bigl(yz\bigr).
Agora cada derivada parcial:
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\bigl(xyz\bigr)=yz, porque y e z são tratadas como constantes ao derivar em relação a x.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0, pois x^{2} não depende de y.
  • \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\bigl(yz\bigr)=y, porque y é constante e a derivada de z em relação a z é 1.
Somando:
\nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=yz+0+y=y\,(z+1).

Passo 4

Usando a condição necessária do Passo 2: se existisse \underset{G}{\rightarrow} com \nabla\times\underset{G}{\rightarrow}=\underset{F}{\rightarrow}, então deveríamos ter \nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=0 para todos os (x,y,z) no domínio. Mas do Passo 3 temos
\nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=y\,(z+1).
Essa função não é identicamente zero em \mathbb{R}^{3}: por exemplo, em (x,y,z)=(0,1,0) vale 1\neq0. Portanto a condição necessária falha, logo NÃO existe campo vetorial \underset{G}{\rightarrow} definido em todo \mathbb{R}^{3} (ou em qualquer região que contenha pontos com y\,(z+1)\neq0) tal que \nabla\times\underset{G}{\rightarrow}=\underset{F}{\rightarrow}.

Resposta

Não existe tal campo vetorial \underset{G}{\rightarrow}, pois \nabla\cdot\underset{F}{\rightarrow}=y(z+1)\neq0.

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