Considere o campo de vetores
. Existe um campo vetorial
, tal que
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pergunta se existe algum campo vetorial
tal que
Informações relevantes fornecidas:
- A função
está definida por componentes polinomiais em . - A pergunta é sobre a existência de um potencial vetorial
cujo rotor (curl) seja .
Não fazemos ainda nenhum cálculo neste passo, só listamos o que foi pedido e o que foi dado.
Passo 2
Idea chave (propriedade necessária): para qualquer campo vetorial suficientemente suave
vale sempre
Explicação didática dessa identidade:
- O operador
(rotor) toma um campo vetorial e produz outro campo com componentes
- O operador
(divergência) de um campo é
- Aplicando a divergência ao rotor e usando que as derivadas parciais mistas são iguais (assumindo regularidade
de ), obtemos cancelamentos:
- Conclusão: uma condição necessária para que exista
com é que
Passo 3
Calcular a divergência de
explicitamente. Pela definição,
Agora cada derivada parcial:
-
, porque e são tratadas como constantes ao derivar em relação a . -
, pois não depende de . -
, porque é constante e a derivada de em relação a é .
Somando:
Passo 4
Usando a condição necessária do Passo 2: se existisse
com
, então deveríamos ter
para todos os
no domínio. Mas do Passo 3 temos
Essa função não é identicamente zero em
: por exemplo, em
vale
. Portanto a condição necessária falha, logo NÃO existe campo vetorial
definido em todo
(ou em qualquer região que contenha pontos com
) tal que
.
Resposta
Não existe tal campo vetorial
, pois
.