Exercício 4. Verifique se as funções abaixo são de classe
. Em caso afirmativo, verifique se são de classe
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente verificar se a função $ f(x, y) $ é de classe $ C^{1} $ e, se for, de classe $ C^{2} $. Isso significa que precisamos checar se as derivadas da função são contínuas até a primeira e, depois, até a segunda ordem. Para isso, vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, como derivadas parciais e continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função que estamos analisando:
Nosso objetivo é verificar a classe de suavidade dessa função, ou seja, quão “lisas” elas são em termos de derivadas contínuas.
Passo 3
Para verificar se $ f $ é de classe $ C^{1} $, precisamos ver se as derivadas parciais de primeira ordem existem e são contínuas em todo o domínio, especialmente no ponto crítico $ (0,0) $.
Vamos calcular as derivadas parciais de $ f $ com relação a $ x $ e $ y $.
Passo 4
Primeiro, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ x $:
Para $ (x, y) \neq (0,0) $,
E no ponto $ (0,0) $, vamos calcular o limite:
Passo 5
Agora, a derivada parcial de $ f $ em relação a $ y $:
Para $ (x, y) \neq (0,0) $,
E no ponto $ (0,0) $, calculamos o limite:
Passo 6
Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, precisamos verificar a continuidade delas no ponto $ (0,0) $.
Para isso, vamos analisar os limites de $ f_{x}(x, y) $ e $ f_{y}(x, y) $ quando $ (x, y) $ se aproxima de $ (0,0) $.
Vamos considerar, por exemplo, tomando $ y = mx $ e deixar $ x $ aproximar-se de 0:
Para $ f_{x}(x, y) $:
À medida que $ x \to 0 $, esse limite tende a infinito, a menos que $ m = \pm 1 $.
Isso indica que o limite não é o mesmo independente da direção, ou seja, as derivadas parciais não são contínuas no ponto $ (0,0) $.
Resposta
A função $ f(x, y) $ não é de classe $ C^{1} $, pois suas derivadas parciais de primeira ordem não são contínuas no ponto $ (0,0) $. Portanto, ela também não é de classe $ C^{2} $.