lim x 0 sen 5 xsen x

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \frac{\sin 5x}{\sin x} $. Esse exercício faz parte do estudo de Limites em Cálculo, e vamos precisar usar propriedades dos limites e algumas aproximações trigonométricas para resolvê-lo.

Passo 2

Primeiro, lembramos que existe uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
limx to 0 sin xx = 1
Essa relação é fundamental para resolver nosso exercício.

Passo 3

Vamos reescrever o limite que queremos calcular de uma forma que possamos aplicar essa propriedade. Observamos que:
sin 5xsin x = sin 5x5x times 5xsin x
Isso nos permite separar a expressão em dois limites que conhecemos.

Passo 4

Agora, aplicamos a propriedade dos limites aos dois fatores separados:
limx to 0 sin 5x5x = 1
e
limx to 0 5xsin x = 5 times limx to 0 xsin x = 5 times 1 = 5
Isso porque limx to 0 xsin x = 1.

Passo 5

Multiplicando os dois resultados obtidos:
1 times 5 = 5
Portanto, o limite é 5.

Resposta

limx to 0 sin 5xsin x = 5

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