Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos que calcular o limite quando $ x $ se aproxima de 0 da expressão $ \frac{\sin 5x}{\sin x} $. Esse exercício faz parte do estudo de Limites em Cálculo, e vamos precisar usar propriedades dos limites e algumas aproximações trigonométricas para resolvê-lo.
Passo 2
Primeiro, lembramos que existe uma propriedade importante dos limites trigonométricos:
Essa relação é fundamental para resolver nosso exercício.
Passo 3
Vamos reescrever o limite que queremos calcular de uma forma que possamos aplicar essa propriedade. Observamos que:
Isso nos permite separar a expressão em dois limites que conhecemos.
Passo 4
Agora, aplicamos a propriedade dos limites aos dois fatores separados:
e
Isso porque
.
Passo 5
Multiplicando os dois resultados obtidos:
Portanto, o limite é 5.