Calcule L^-1[F(s)], sendo:
F(s)=12s^2+6 s+13

Passo 1

Beleza, temos que calcular a transformada inversa de F(s) = 12s^2 +6 s+13. Isso está no campo das transformadas de Laplace, que é uma ferramenta matemática que nos ajuda a resolver equações diferenciais. Para resolver isso, vamos precisar reescrever a expressão de F(s) de uma forma que facilite encontrar a inversa.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o denominador da fração. O denominador é s^2 +6s +13. Para facilitar, vamos completar o quadrado dessa expressão quadrática.

Passo 3

Completando o quadrado:
s^2 +6s +13 = (s^2 +6s +9) +4 = (s +3)^2 +4
Então, F(s) fica:
F(s) = 12(s +3)^2 +4

Passo 4

Agora, reconhecemos que essa expressão se parece com a transformada de Laplace de uma função senoidal. Sabemos que:
Le^-at sin(bt) = b(s +a)^2 +b^2
Comparando com nossa F(s), temos a = 3, b^2 =4 então b=2, e o numerador 12 precisa ser ajustado.

Passo 5

Para igualar os dois, escrevemos:
12(s +3)^2 +4 = 122 cdot 2 cdot 2 cdot 2(s +3)^2 +2^2 = 6 cdot 2(s +3)^2 +2^2
Assim, a transformada inversa de F(s) será:
f(t) = 6 e^-3t sin(2t)

Resposta

A transformada inversa de F(s) é f(t) = 6 e^-3t sin(2t).

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