Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
g(x, y)= x^3 yx^4+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
g definida por
g(x,y)= x^3yx^4+y^2, & (x,y)neq(0,0) 0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). Vamos usar derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
$$\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h}=
\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0, partial gpartial x(0,0)=limhto0g(h,0)-g(0,0)h= limhto00-0h=0,\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{g(0,k)-g(0,0)}{k}=0.$$
Logo o gradiente em (0,0) é (0,0).

Passo 3

Para ser diferenciável em (0,0) precisamos que
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{g(x,y)-g(0,0)-\nabla g(0,0)\cdot(x,y)}{\sqrt{x2+y2}}=
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{g(x,y)}{\sqrt{x2+y2}}=0.$$
Se esse limite não for zero, a função não é diferenciável.

Passo 4

Testamos o caminho y=m x^2. Então
$$g(x,mx2)=\frac{x3(mx2)}{x4+m2x4}=\frac{m x5}{x4(1+m2)}=\frac{m}{1+m2}x.
g(x,mx^2)=x^3(mx^2)x^4+m^2x^4=m x^5x^4(1+m^2)=m1+m^2x âé\sqrt{x2+(mx2)2}=|x|\sqrt{1+m2x^2},$$
então
$$\frac{g(x,mx2)}{\sqrt{x2+y2}}=\frac{\frac{m}{1+m2}x}{|x|\sqrt{1+m2x2}}=\frac{m}{1+m2}\cdot\frac{x}{|x|\sqrt{1+m2x^2}}.
$$
Quando raizx^2+(mx^2)^2=|x|raiz1+m^2x^2, isso tende a g(x,mx^2)raizx^2+y^2=m1+m^2x|x|raiz1+m^2x^2=m1+m^2cdotx|x|raiz1+m^2x^2 (para x>0). Portanto o limite não é zero.

Passo 5

Como não conseguimos o limite zero para todos os caminhos, concluímos que g não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).

Resposta

g não é diferenciável em (0,0).

Exercícios relacionados