Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
Passo 1
O enunciado pede para verificar se a função de duas variáveis
g definida por
g definida por
é diferenciável em (0,0). Vamos usar derivadas parciais e a definição de diferenciabilidade.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais em (0,0). Pela definição,
$$\frac{\partial g}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{g(h,0)-g(0,0)}{h}=
\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0,
\frac{\partial g}{\partial y}(0,0)=\lim_{k\to0}\frac{g(0,k)-g(0,0)}{k}=0.$$
Logo o gradiente em (0,0) é (0,0).
Passo 3
Para ser diferenciável em (0,0) precisamos que
$$\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{g(x,y)-g(0,0)-\nabla g(0,0)\cdot(x,y)}{\sqrt{x2+y2}}=
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{g(x,y)}{\sqrt{x2+y2}}=0.$$
Se esse limite não for zero, a função não é diferenciável.
Se esse limite não for zero, a função não é diferenciável.
Passo 4
Testamos o caminho
. Então
$$g(x,mx2)=\frac{x3(mx2)}{x4+m2x4}=\frac{m x5}{x4(1+m2)}=\frac{m}{1+m2}x.
então
$$\frac{g(x,mx2)}{\sqrt{x2+y2}}=\frac{\frac{m}{1+m2}x}{|x|\sqrt{1+m2x2}}=\frac{m}{1+m2}\cdot\frac{x}{|x|\sqrt{1+m2x^2}}.
$$
Quando isso tende a
(para
). Portanto o limite não é zero.
Quando
Passo 5
Como não conseguimos o limite zero para todos os caminhos, concluímos que g não satisfaz a definição de diferenciabilidade em (0,0).
Resposta
g não é diferenciável em (0,0).