Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
f(x, y)= x sin (y)raizx^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) 0, & se (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado pede pra gente checar se a função de duas variáveis
dada por
f(x,y)=xsin(y)raizx^2+y^2,&(x,y)neq(0,0)0,&(x,y)=(0,0)
é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função de várias variáveis: precisamos achar as derivadas parciais em (0,0) e mostrar que o resto da expansão linear é pequeno demais (isto é, é um termo o(raizx^2+y^2)).

Passo 2

Pra começar, vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição:
partial fpartial x(0,0)=limhto0f(h,0)-f(0,0)h,
mas para y=0 temos sin(0)=0 e assim
f(h,0)=hcdot0|h|=0
Logo
partial fpartial x(0,0)=0
De modo análogo,
partial fpartial y(0,0)=limkto0f(0,k)-0k =limkto00k=0

Passo 3

Agora a boa notícia é que, se as derivadas parciais existem e são contínuas (ou se conseguimos controlar o resto), a aproximação linear candidata é a função nula:
L(x,y)=0cdot x+0cdot y=0
Ou seja, esperamos que
f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)
seja um termo o(r), onde r=raizx^2+y^2.

Passo 4

Para ver isso, analisamos o módulo de f(x,y) quando (x,y)neq(0,0):
|f(x,y)|=|xsin(y)raizx^2+y^2| <= |x|,|sin(y)|r
Como |sin(y)|<=|y|, temos
|f(x,y)|<=|x|,|y|r
E por desigualdade aritmético-geométrica
|x|,|y|<=x^2+y^22=r^22
Logo
|f(x,y)|<=r^2/2r= r2
que claramente tende a 0 quando rto0.

Passo 5

Como mostramos que
f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)=O(r)e de fato|f(x,y)|<=tfrac r2,
aisso significa que o resto é o(r), afinal r/2= o(r). Portanto, f é diferenciável em (0,0) e as derivadas parciais valem zero.

Passo 6

A conclusão é que a função é diferenciável no ponto (0,0) e sua diferencial é a aplicação linear nula, ou seja, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.

Resposta

A função é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=(0,0), ou seja, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.

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