Exercício 7. Verifique se as funções abaixo são diferenciáveis no ponto ( 0,0 ):
Passo 1
O enunciado pede pra gente checar se a função de duas variáveis
dada por
é diferenciável em (0,0). O conteúdo aqui é diferenciabilidade de função de várias variáveis: precisamos achar as derivadas parciais em (0,0) e mostrar que o resto da expansão linear é pequeno demais (isto é, é um termo ).
Passo 2
Pra começar, vamos calcular as derivadas parciais em (0,0) usando a definição:
mas para temos e assim
Logo
De modo análogo,
Passo 3
Agora a boa notícia é que, se as derivadas parciais existem e são contínuas (ou se conseguimos controlar o resto), a aproximação linear candidata é a função nula:
Ou seja, esperamos que
seja um termo , onde .
Passo 4
Para ver isso, analisamos o módulo de quando :
Como |sin(y)|<=|y|, temos
|f(x,y)|<=|x|,|y|r
E por desigualdade aritmético-geométrica
|x|,|y|<=x^2+y^22=r^22
Logo
|f(x,y)|<=r^2/2r= r2
que claramente tende a 0 quando rto0.
Passo 5
Como mostramos que
f(x,y)-L(x,y)=f(x,y)=O(r)e de fato|f(x,y)|<=tfrac r2,
aisso significa que o resto é o(r), afinal r/2= o(r). Portanto, f é diferenciável em (0,0) e as derivadas parciais valem zero.
Passo 6
A conclusão é que a função é diferenciável no ponto (0,0) e sua diferencial é a aplicação linear nula, ou seja, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.
Resposta
A função é diferenciável em (0,0) e Df(0,0)=(0,0), ou seja, fx(0,0)=0 e fy(0,0)=0.