Exercício 5. Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados: f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., em (0,0)
e pede para verificar se f é contínua no ponto (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é \dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
A verificação de continuidade em (0,0) exige mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0,
ou encontrar que esse limite não existe / não é igual a 0.]
Passo 2
Lembrete didático: o que significa ser contínua em (0,0).
Uma função f é contínua em (0,0) quando o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) existe e é igual a f(0,0).
Em símbolos: é preciso provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)-0|<\varepsilon.
Vou usar essa definição e construir uma estimativa que mostre que |f(x,y)| fica pequeno quando \sqrt{x^{2}+y^{2}} é pequeno.
Passo 3
Primeira manipulação da expressão para obter uma forma que possamos estimar:
para (x,y)\neq(0,0)
Queremos obter uma desigualdade do tipo |f(x,y)|\le g(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) onde g(r)\to0 quando r\to0. Uma desigualdade útil envolve comparar |x y| com x^{2}+y^{2}.
Passo 4
Provar a desigualdade |x y|\le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2} (essa é clássica e vem de uma versão simples da desigualdade 2|xy|\le x^{2}+y^{2}).
Logo para esse \delta vale a condição da definição de limite. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
o que prova que f é contínua em (0,0).
Passo 7
Comentário intuitivo e verificação por caminhos (confirmação):
Se aproximarmos por uma reta y=mx, então para x\to0
f(x,mx)=\dfrac{x\cdot m x}{\sqrt{x^{2}+m^{2}x^{2}}}=\dfrac{m x^{2}}{|x|\sqrt{1+m^{2}}}=\dfrac{m|x|}{\sqrt{1+m^{2}}}\to0.
Isso é consistente com a desigualdade que já provou o limite geral. Ou seja, não há dependência de direção que cause limites diferentes — todas as direções vão para 0.