Exercício 5. Verifique se as funções dadas são contínuas nos pontos indicados:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll}\frac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{array}\right., em (0,0)

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede para verificar se f é contínua no ponto (0,0).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • O valor de f no ponto (0,0) é f(0,0)=0.
  • Para (x,y)\neq(0,0) a expressão é \dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
  • A verificação de continuidade em (0,0) exige mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0,
ou encontrar que esse limite não existe / não é igual a 0.]

Passo 2

Lembrete didático: o que significa ser contínua em (0,0).
  • Uma função f é contínua em (0,0) quando o limite de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) existe e é igual a f(0,0).
  • Em símbolos: é preciso provar que para todo \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então |f(x,y)-0|<\varepsilon.
    Vou usar essa definição e construir uma estimativa que mostre que |f(x,y)| fica pequeno quando \sqrt{x^{2}+y^{2}} é pequeno.

Passo 3

Primeira manipulação da expressão para obter uma forma que possamos estimar:
para (x,y)\neq(0,0)
|f(x,y)|=\left|\dfrac{x y}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\right|=\dfrac{|x y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}.
Queremos obter uma desigualdade do tipo |f(x,y)|\le g(\sqrt{x^{2}+y^{2}}) onde g(r)\to0 quando r\to0. Uma desigualdade útil envolve comparar |x y| com x^{2}+y^{2}.

Passo 4

Provar a desigualdade |x y|\le \dfrac{x^{2}+y^{2}}{2} (essa é clássica e vem de uma versão simples da desigualdade 2|xy|\le x^{2}+y^{2}).
Demonstração rápida e intuitiva:
0\le (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}\quad\Rightarrow\quad 2xy\le x^{2}+y^{2}.
Trocando y por -y obtém-se -2xy\le x^{2}+y^{2}, portanto |2xy|\le x^{2}+y^{2}. Assim
|x y|\le \frac{x^{2}+y^{2}}{2}.

Passo 5

Usando a desigualdade no Passo 4 na expressão de |f(x,y)|, obtemos para (x,y)\neq(0,0):
|f(x,y)|=\dfrac{|x y|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\le \dfrac{\dfrac{x^{2}+y^{2}}{2}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=\dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}.
Definindo r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} (a distância de (x,y) à origem), a desigualdade fica
|f(x,y)|\le \dfrac{r}{2}.
Como r\to0 quando (x,y)\to(0,0), a quantidade \dfrac{r}{2} tende a 0. Portanto por comparação temos
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0.
Isto já mostra heurística forte de continuidade: a função vai para 0 no limite.

Passo 6

Prova \varepsilon- \delta formal (para fechar certinho como em prova de prova):
seja \varepsilon>0. Escolha
\delta=2\varepsilon.
Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta então, usando a desigualdade do Passo 5,
|f(x,y)-0|=|f(x,y)|\le \dfrac{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}{2}<\dfrac{\delta}{2}=\varepsilon.
Logo para esse \delta vale a condição da definição de limite. Portanto
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=0=f(0,0),
o que prova que f é contínua em (0,0).

Passo 7

Comentário intuitivo e verificação por caminhos (confirmação):
  • Se aproximarmos por uma reta y=mx, então para x\to0
f(x,mx)=\dfrac{x\cdot m x}{\sqrt{x^{2}+m^{2}x^{2}}}=\dfrac{m x^{2}}{|x|\sqrt{1+m^{2}}}=\dfrac{m|x|}{\sqrt{1+m^{2}}}\to0.
Isso é consistente com a desigualdade que já provou o limite geral. Ou seja, não há dependência de direção que cause limites diferentes — todas as direções vão para 0.

Resposta

Sim, f é contínua em (0,0).

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