\begin{cases}x+y+z+w & =10 \\\\ -w+x-y+2 z & =3 \\\\ 2 x-z+y+2 w & =11 \\\\ -x+2 y+3 w+z & =16\end{cases}

Passo 1

O sistema fornecido é
\begin{cases} x+y+z+w=10\\[4pt] -w+x-y+2z=3\\[4pt] 2x-z+y+2w=11\\[4pt] -x+2y+3w+z=16 \end{cases}
As informações que temos são as quatro equações lineares com quatro incógnitas x,y,z,w. O que o enunciado pede é encontrar os valores de x, y, z e w que satisfazem todas as equações simultaneamente.]

Passo 2

Método escolhido: eliminação de Gauss (eliminação por linhas) — porque é um procedimento sistemático para resolver sistemas lineares de várias equações e pode ser feito à mão com operações aritméticas simples. Vou transformar o sistema numa matriz aumentada e usar operações elementares de linha (trocar linhas, multiplicar uma linha por constante não nula, somar múltiplos de uma linha a outra) para obter uma forma triangular superior e depois fazer substituição regressiva.
Matriz aumentada inicial (colunas nas ordens x,y,z,w\,|\,termo independente):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 1 & -1 & 2 & -1 & 3\\[4pt] 2 & 1 & -1 & 2 & 11\\[4pt] -1 & 2 & 1 & 3 & 16 \end{array}\right]
Vou eliminar a variável x abaixo da primeira linha usando a primeira linha como pivô.]

Passo 3

Eliminar x nas linhas 2, 3 e 4 com operações:
  • R_2 \leftarrow R_2 - R_1
  • R_3 \leftarrow R_3 - 2R_1
  • R_4 \leftarrow R_4 + R_1
Cálculo linha a linha:
Para R_2:
R_2 - R_1 = [1-1,\; -1-1,\; 2-1,\; -1-1\;|\;3-10] = [0,\; -2,\; 1,\; -2\;|\; -7].
Para R_3:
R_3 - 2R_1 = [2-2,\; 1-2,\; -1-2,\; 2-2\;|\;11-20] = [0,\; -1,\; -3,\; 0\;|\; -9].
Para R_4:
R_4 + R_1 = [-1+1,\; 2+1,\; 1+1,\; 3+1\;|\;16+10] = [0,\; 3,\; 2,\; 4\;|\; 26].
Matriz agora:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & -1 & -3 & 0 & -9\\[4pt] 0 & 3 & 2 & 4 & 26 \end{array}\right]]

Passo 4

Agora vou eliminar a variável y nas linhas 3 e 4 usando a segunda linha R_2 (que tem coeficiente -2 em y) como pivô.
Fator para eliminar y em R_3: \dfrac{R_{3,y}}{R_{2,y}}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}. Então
R_3 \leftarrow R_3 - \tfrac{1}{2}R_2.
Cálculo:
R_3 - \tfrac{1}{2}R_2 = [0,\; -1 - \tfrac{1}{2}(-2),\; -3 - \tfrac{1}{2}(1),\; 0 - \tfrac{1}{2}(-2)\;|\; -9 - \tfrac{1}{2}(-7)].
Isso dá
R_3 = [0,\;0,\; -\tfrac{7}{2},\;1\;|\; -\tfrac{11}{2}].
Fator para eliminar y em R_4: \dfrac{R_{4,y}}{R_{2,y}}=\dfrac{3}{-2}=-\tfrac{3}{2}. Então
R_4 \leftarrow R_4 - \big(-\tfrac{3}{2}\big)R_2 = R_4 + \tfrac{3}{2}R_2.
Cálculo:
R_4 + \tfrac{3}{2}R_2 = [0,\;3 + \tfrac{3}{2}(-2),\; 2 + \tfrac{3}{2}(1),\;4 + \tfrac{3}{2}(-2)\;|\;26 + \tfrac{3}{2}(-7)].
Isso dá
R_4 = [0,\;0,\; \tfrac{7}{2},\;1\;|\; \tfrac{31}{2}].
A matriz fica:
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{7}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & \tfrac{7}{2} & 1 & \tfrac{31}{2} \end{array}\right]]

Passo 5

Agora elimino z na quarta linha usando a terceira linha. Note que R_3 tem coeficiente -\tfrac{7}{2} em z e R_4 tem \tfrac{7}{2}, então somando R_3 e R_4 cancela o termo em z:
R_4 \leftarrow R_4 + R_3.
Cálculo:
R_4 = [0,\;0,\; \tfrac{7}{2} + (-\tfrac{7}{2}),\; 1 + 1\;|\; \tfrac{31}{2} + (-\tfrac{11}{2})] = [0,\;0,\;0,\;2\;|\;10].
Divido a quarta linha por 2 para obter pivô 1 em w:
R_4 \leftarrow \tfrac{1}{2}R_4 = [0,\;0,\;0,\;1\;|\;5].
Agora a matriz está em forma triangular superior (com pivôs claros):
\left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 1 & 1 & 1 & 10\\[4pt] 0 & -2 & 1 & -2 & -7\\[4pt] 0 & 0 & -\tfrac{7}{2} & 1 & -\tfrac{11}{2}\\[4pt] 0 & 0 & 0 & 1 & 5 \end{array}\right]]

Passo 6

Substituição regressiva: já temos w direto da última linha.
Da última linha R_4:
w = 5.

Passo 7

Usar a terceira linha R_3 para achar z. A terceira linha é
-\tfrac{7}{2} z + 1\cdot w = -\tfrac{11}{2}.
Substituindo w=5:
-\tfrac{7}{2} z + 5 = -\tfrac{11}{2}.
Isolando z:
-\tfrac{7}{2} z = -\tfrac{11}{2} - 5 = -\tfrac{11}{2} - \tfrac{10}{2} = -\tfrac{21}{2}.
Logo
z = \frac{-\tfrac{21}{2}}{-\tfrac{7}{2}} = \frac{-21}{2}\cdot\frac{-2}{7} = 3.

Passo 8

Usar a segunda linha R_2 para achar y. A segunda linha é
-2y + 1\cdot z -2w = -7.
Substituindo z=3 e w=5:
-2y + 3 - 10 = -7 \quad\Rightarrow\quad -2y -7 = -7 \quad\Rightarrow\quad -2y = 0.
Logo
y = 0.

Passo 9

Finalmente, usar a primeira equação para achar x. A primeira equação é
x + y + z + w = 10.
Substituindo y=0, z=3, w=5:
x + 0 + 3 + 5 = 10 \quad\Rightarrow\quad x + 8 = 10 \quad\Rightarrow\quad x = 2.
Verificação rápida (opcional): substituir (x,y,z,w)=(2,0,3,5) nas equações originais confirma que todas são satisfeitas.

Resposta

x=2
y=0
z=3
w=5

Exercícios relacionados