Exercício 3. Mostre que não existe os limites:
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{x y^{2} cos (y)}{x^{2}+y^{4}}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{x y^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}}.
Informações dadas e observações iniciais:
  • A função considerada é f(x,y)=\dfrac{x y^{2}\cos(y)}{x^{2}+y^{4}} definida para (x,y)\neq(0,0) (o denominador só zera em (0,0)).
  • Quer-se estudar o comportamento de f(x,y) quando (x,y) se aproxima de (0,0) por diferentes caminhos.
  • Lembrete útil: \cos(y) é contínua em 0 e \cos(y)\to\cos(0)=1 quando y\to0.

Passo 2

Teste de um caminho simples: tomar x=0 e y\to0.
  • Substituindo x=0 na expressão temos, para y\neq0,
f(0,y)=\frac{0\cdot y^{2}\cos(y)}{0^{2}+y^{4}}=0.
  • Portanto, ao longo do caminho x=0 o valor de f(x,y) é identicamente 0 (para y\neq0), e assim
\lim_{y\to0} f(0,y)=0.

Passo 3

Teste de outro caminho: tomar x=y^{2} e y\to0.
  • Substituindo x=y^{2} na expressão:
f(y^{2},y)=\frac{(y^{2})\,y^{2}\cos(y)}{(y^{2})^{2}+y^{4}} =\frac{y^{4}\cos(y)}{y^{4}+y^{4}} =\frac{y^{4}\cos(y)}{2y^{4}}.
  • Simplificando (para y\neq0):
f(y^{2},y)=\frac{\cos(y)}{2}.
  • Como \cos(y)\to1 quando y\to0, obtemos
\lim_{y\to0} f(y^{2},y)=\frac{1}{2}.

Passo 4

Comparando os dois limites obtidos por caminhos diferentes:
  • Pelo caminho x=0 o limite é 0.
  • Pelo caminho x=y^{2} o limite é \tfrac{1}{2}.
    Esses dois números são diferentes, ou seja, as aproximações por caminhos distintos dão resultados distintos.

Passo 5

Explicação didática sobre a escolha do caminho x=y^{2} e generalização (para entender melhor a ideia):
  • A razão de tentar x proporcional a y^{2} é “igualar ordens” no denominador: x^{2} e y^{4} têm ordem y^{4} se x for da ordem y^{2}. Isso pode produzir um quociente que não tende a zero automaticamente.
  • Mais generally, se tomarmos x=c\,y^{2} com constante c\in\mathbb{R}, então
f(c\,y^{2},y)=\frac{c\,y^{4}\cos(y)}{c^{2}y^{4}+y^{4}} =\frac{c\cos(y)}{c^{2}+1},
e assim
\lim_{y\to0} f(c\,y^{2},y)=\frac{c}{c^{2}+1}.
  • Essa expressão depende de c. Por exemplo, c=0 0 e c=1 \tfrac{1}{2}. Como diferentes valores de c produzem limites diferentes, isso reforça que não há um único valor-limite ao aproximar-se de (0,0) por caminhos diferentes.

Resposta

O limite não existe.

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