Exercício 3. Mostre que não existe os limites:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
Informações dadas e observações iniciais:
- A função considerada é
definida para (o denominador só zera em ). - Quer-se estudar o comportamento de
quando se aproxima de por diferentes caminhos. - Lembrete útil:
é contínua em e quando .
Passo 2
Teste de um caminho simples: tomar
e
.
- Substituindo
na expressão temos, para ,
- Portanto, ao longo do caminho
o valor de é identicamente (para ), e assim
Passo 3
Teste de outro caminho: tomar
e
.
- Substituindo
na expressão:
- Simplificando (para
):
- Como
quando , obtemos
Passo 4
Comparando os dois limites obtidos por caminhos diferentes:
- Pelo caminho
o limite é . - Pelo caminho
o limite é .
Esses dois números são diferentes, ou seja, as aproximações por caminhos distintos dão resultados distintos.
Passo 5
Explicação didática sobre a escolha do caminho
e generalização (para entender melhor a ideia):
- A razão de tentar
proporcional a é “igualar ordens” no denominador: e têm ordem se for da ordem . Isso pode produzir um quociente que não tende a zero automaticamente. - Mais generally, se tomarmos
com constante , então
e assim
- Essa expressão depende de
. Por exemplo, dá e dá . Como diferentes valores de produzem limites diferentes, isso reforça que não há um único valor-limite ao aproximar-se de por caminhos diferentes.
Resposta
O limite não existe.