Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos
dos espaços vetoriais
são subespaços dele.
(o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 ), onde
.
Passo 1
O enunciado nos dá o espaço vetorial
, isto é, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em
, e o subconjunto
que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Precisamos verificar se
é subespaço de
usando a definição: mostrar que
não é vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Mostramos que
não é vazio, exibindo o vetor nulo de
. O polinômio zero
está em
(basta tomar
), logo
.
Passo 3
Verificamos a fechamento sob soma. Sejam
em
. Então
Como
, segue que
.
Passo 4
Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Para qualquer
e
em
, temos
e como
, resulta
.
Resposta
O conjunto
satisfaz as três condições de subespaço (não vazio, fechado sob soma e fechado sob escalar), portanto
é subespaço de
.