Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos W dos espaços vetoriais V são subespaços dele.
W=\left\{a_{0}+a_{1} x+a_{2} x^{2}, a_{0}, a_{1}, a_{2} \in \mathbb{R}\right\} (o conjunto dos polinômios de grau menor ou igual a 2 ), onde V=\mathbb{R}[x].

Passo 1

O enunciado nos dá o espaço vetorial V = \mathbb{R}[x], isto é, o conjunto de todos os polinômios com coeficientes em \mathbb{R}, e o subconjunto
W = \{\,a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} \mid a_{0},a_{1},a_{2}\in\mathbb{R}\},
que é o conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2. Precisamos verificar se W é subespaço de V usando a definição: mostrar que W não é vazio, que é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio, exibindo o vetor nulo de V. O polinômio zero
0(x) = 0 + 0\cdot x + 0\cdot x^{2}
está em W (basta tomar a_{0}=a_{1}=a_{2}=0), logo W\neq\varnothing.

Passo 3

Verificamos a fechamento sob soma. Sejam
p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}, \quad q(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2}
em W. Então
(p+q)(x) = (a_{0}+b_{0}) + (a_{1}+b_{1})x + (a_{2}+b_{2})x^{2}.
Como a_{i}+b_{i}\in\mathbb{R}, segue que p+q\in W.

Passo 4

Verificamos o fechamento sob multiplicação por escalar. Para qualquer c\in\mathbb{R} e
p(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2}
em W, temos
(c\,p)(x) = (c\,a_{0}) + (c\,a_{1})x + (c\,a_{2})x^{2},
e como c\,a_{i}\in\mathbb{R}, resulta c\,p\in W.

Resposta

O conjunto W satisfaz as três condições de subespaço (não vazio, fechado sob soma e fechado sob escalar), portanto W é subespaço de \mathbb{R}[x].

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