Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos W dos espaços vetoriais V são subespaços dele.
W=\left\{\left(\begin{array}{ll}a & b \\\\ 1 & c\end{array}\right), a, b, c \in \mathbb{R}\right\}, onde V=\mathcal{M}_{2 \times 2}.

Passo 1

O enunciado define
W = \left\{ \begin{pmatrix} a & b \\\\ 1 & c \end{pmatrix} : a,b,c \in \mathbb R \right\}
como subconjunto de V = \mathcal M_{2\times2}(\mathbb R) e pede para verificar se W é um subespaço de V. Para isso, precisamos usar a definição de subespaço vetorial, que exige (i) conter o vetor zero, (ii) ser fechado sob soma e (iii) ser fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos se o vetor zero de V, isto é
0_V = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\\\ 0 & 0 \end{pmatrix}
pertence a W. Em qualquer matriz de W, o elemento na posição (2,1) vale 1, mas em 0_V esse elemento é 0. Logo, 0_V \notin W.

Passo 3

Um subespaço vetorial deve conter o vetor zero. Como 0_V\notin W, concluímos que W não é subespaço de V.

Resposta

W não é subespaço de V.

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