Exercício 5.2.2. Verifique se os seguintes subconjuntos W dos espaços vetoriais V são subespaços dele.
Considere o sistema (I) \left\{\begin{array}{l}x+2 y+3 z=0 \\\ x+3 y+4 z=0\end{array}\right. Seja W=\left\{\left(\begin{array}{l}x \\\ y \\\ z\end{array}\right)\right., que satisfazem o sistema (I) \}, onde V=\mathbb{R}^{3}.

Passo 1

O enunciado define V=\mathbb{R}^3\) e \[W = \left\{\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}\in\mathbb{R}^3 \;\Big|\; \begin{cases} x+2y+3z=0,\\\ x+3y+4z=0 \end{cases}\right\}.
O conteúdo aqui é verificar se um conjunto definido por equações lineares homogêneas é subespaço de V\]. Para isso, precisamos mostrar que (i) \(W\neq\varnothing, (ii) é fechado em soma e (iii) é fechado em multiplicação escalar.

Passo 2

Mostramos que W não é vazio, verificando que o vetor nulo pertence a W. Para \mathbf{0}=(0,0,0)^T temos
0 + 2\cdot0 + 3\cdot0 = 0, \quad 0 + 3\cdot0 + 4\cdot0 = 0,
logo \mathbf{0}\in W.

Passo 3

Fechamento em soma e escalar. Sejam \mathbf{u},\mathbf{v}\in W e \alpha\in\mathbb{R}. Então
\begin{aligned} (\mathbf{u}+\mathbf{v})\,&\text{satisfaz} \;x+2y+3z= (x_u+x_v)+2(y_u+y_v)+3(z_u+z_v)=0+0=0,\\\ &\quad\text{e igual para a segunda equação,}\\\ \alpha\mathbf{u}\,&\text{satisfaz} \;x+2y+3z=\alpha x_u+2\,\alpha y_u+3\,\alpha z_u =\alpha(x_u+2y_u+3z_u)=\alpha\cdot0=0, \end{aligned}çã
e o mesmo vale para a segunda equação. Assim \mathbf{u}+\mathbf{v}\in W e \alpha\mathbf{u}\in W.

Passo 4

Para caracterizar W\), resolvemos o sistema \[\begin{cases} x+2y+3z=0,\\\ x+3y+4z=0. \end{cases}
Subtraindo a primeira da segunda: y+z=0\Rightarrow y=-z\]. Substituindo em \(x+2y+3z=0 x+2(-z)+3z=0\Rightarrow x=-z. Tomando z=t, obtemos
\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-t\\\ -t\t\end{pmatrix} =t\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix},
logo
W = \mathrm{Span}\Bigl\{\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\Bigr\}.

Resposta

Sim. W é subespaço de \mathbb{R}^3. Uma base é
\left\{\begin{pmatrix}-1\\\ -1\\\ 1\end{pmatrix}\right\},
e \dim W=1.

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