Seja
um campo escalar e
um campo vetorial, determinar
e
para o sistema de coordenadas cilíndrico tridimensional.
Passo 1
O enunciado nos pede para escrever as expressões de
,
,
e
no sistema de coordenadas cilíndricas
. Vamos usar a teoria de operadores diferenciais em coordenadas curvilíneas ortonormais, onde os fatores de escala são
,
,
, e os versores
,
,
dependem de
.
Passo 2
Para o gradiente de um campo escalar
em coordenadas com fatores de escala
, vale
No caso cilíndrico
com
,
,
, obtemos
Passo 3
Para a divergência de um campo vetorial
, o operador geral em coordenadas curvilíneas é
Substituindo
e cada
, temos
Passo 4
O laplaciano de um escalar
é
. Aplicando a divergência do passo anterior ao gradiente de
, obtemos
Passo 5
Para o rotor (curl) de
, em coordenadas curvilíneas ortonormais usa-se a fórmula
onde
é o símbolo de Levi-Civita. Fazendo as contas para
, resulta