Exercício 4
Verifique que as sequências
abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
Verifique que as sequências
Passo 1
A sequência dada é
. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade e limite de sequência. Vamos precisar do teorema da convergência de sequências monótonas e do cálculo de razão
para mostrar que ela é decrescente.
Passo 2
Para ver se
é decrescente, calculamos a razão entre termos consecutivos:
Logo,
Passo 3
Note que para todo
temos
e
. Como o produto de fatores menores que 1 é menor que 1, segue que
Isso mostra que
, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.
Passo 4
Como cada termo
é um quociente de positivos, temos
para todo
. Logo, a sequência é limitada inferiormente por 0.
Passo 5
Pelo teorema da convergência de sequências monótonas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Além disso, observando que
concluímos que os termos de
tendem a zero (comportamento geométrico).
Resposta
A sequência é decrescente, limitada inferiormente por 0 e, portanto, converge; seu limite é 0.