Exercício 4
Verifique que as sequências an abaixo são decrescentes e tem limitante inferior. O que você pode dizer a respeito da convergência destas sequências?
an=1 cdot 3 cdot 5 cdots(2 n-1)(2 n)^n, n >= 1

Passo 1

A sequência dada é an=1cdot3cdot5cdots(2n-1)(2n)^n. O conteúdo aqui é estudo de monotonicidade e limite de sequência. Vamos precisar do teorema da convergência de sequências monótonas e do cálculo de razão an+1/an para mostrar que ela é decrescente.

Passo 2

Para ver se an é decrescente, calculamos a razão entre termos consecutivos:
an+1 = 1cdot3cdotcdots(2n-1),(2n+1)[2(n+1)]^n+1
Logo,
an+1an = (2n+1)[2(n+1)]^n+1times(2n)^n = 2n+12n+2l(nn+1r)^n

Passo 3

Note que para todo n>=1 temos 2n+12n+2<1 e l(tfracnn+1r)^n<1. Como o produto de fatores menores que 1 é menor que 1, segue que
an+1an<1
Isso mostra que an+1, ou seja, a sequência é estritamente decrescente.

Passo 4

Como cada termo an é um quociente de positivos, temos an>0 para todo n. Logo, a sequência é limitada inferiormente por 0.

Passo 5

Pelo teorema da convergência de sequências monótonas, uma sequência decrescente e limitada inferiormente converge. Além disso, observando que
limntoinftyan+1an=limntoinfty2n+12n+2l(nn+1r)^n=1cdot e^-1=1e<1,
concluímos que os termos de an tendem a zero (comportamento geométrico).

Resposta

A sequência é decrescente, limitada inferiormente por 0 e, portanto, converge; seu limite é 0.

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