Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
f(x)=clx^3 sen(1 / x) & , x neq 0 0 & , x=0

Passo 1

O enunciado pede para derivar a função definida por partes
f(x)= x^3sin(1/x),&xne00,&x=0. O conteúdo envolve: para x≠0 usar regra do produto e regra da cadeia, e em x=0 usar a definição de derivada via limite.

Passo 2

Para x≠0 temos f(x)=x^3·\sin(1/x). Vamos aplicar a regra do produto: se u(x)=x^3 e v(x)=\sin(1/x), então u’=3x^2 e, pela cadeia, v’=\cos(1/x)·(−1/x^2). Logo

Passo 3

f'(x)=u'v+uv'=3x^2sin(1/x)+x^3l(-cos(1/x)x^2r)=3x^2sin(1/x)-xcos(1/x), xne0

Passo 4

Para x=0 usamos a definição
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0h^3sin(1/h)h=limhto0h^2sin(1/h)
Como |h2\sin(1/h)|≤h2→0, concluímos f’(0)=0.

Resposta

A derivada é
a peça única f’(x)={3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x),x≠0; 0,x=0}.

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