Derive cada função dos exercícios 9. a 17. (se possível, simplifique a função e/ou a derivada da função)
Passo 1
O enunciado pede para derivar a função definida por partes
f(x)= . O conteúdo envolve: para x≠0 usar regra do produto e regra da cadeia, e em x=0 usar a definição de derivada via limite.
f(x)=
Passo 2
Para x≠0 temos f(x)=x^3·\sin(1/x). Vamos aplicar a regra do produto: se u(x)=x^3 e v(x)=\sin(1/x), então u’=3x^2 e, pela cadeia, v’=\cos(1/x)·(−1/x^2). Logo
Passo 3
Passo 4
Para x=0 usamos a definição
Como |h2\sin(1/h)|≤h2→0, concluímos f’(0)=0.
Resposta
A derivada é
a peça única f’(x)={3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x),x≠0; 0,x=0}.
a peça única f’(x)={3x^2\sin(1/x)-x\cos(1/x),x≠0; 0,x=0}.