Nos exercícios abaixo determine o valor de x para os quais a série converge absolutamente:
8) sumk=0^infty(-1)^k x^2 k(2 k)!=1-x^22!+x^44!-x^66!+ldots

Passo 1

Estamos com a série sumk=0^infty(-1)^kx^2k(2k)!. O tópico aqui é convergência absoluta de série de potências, e para isso vamos precisar do teste da razão.

Passo 2

Definimos o termo geral em módulo como ak=l|(-1)^kx^2k(2k)!r|=|x|^2k(2k)!. Aplicando o teste da razão, calculamos
L=limktoinftyak+1ak =limktoinfty|x|^2(k+1)/(2k+2)!|x|^2k/(2k)! =limktoinfty|x|^2(2k+2)(2k+1) =0

Passo 3

Como o limite L=0<1 independe de x, concluímos que a série converge absolutamente para qualquer valor real de x.

Resposta

xinR

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