Exercício 5
Verifique se as sequências são convergentes ou divergentes:
1-cos (2^n)2^n

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a sequência an=1-cos(2^n)2^n é convergente ou divergente. Vamos usar conceitos de limite de sequência e o Teorema do Confronto (Teorema do Sanduíche).

Passo 2

Como cos(x) oscila entre -1 e 1, temos
-1<= cos(2^n)<= 1
que implica
0<= 1-cos(2^n)<= 2
Logo,
0<= 1-cos(2^n)2^n<= 22^n

Passo 3

Observe que
22^n=2^1-nlongrightarrow 0(ntoinfty)
Pelo Teorema do Confronto, como 0<= an<= 2^1-n e o limite da parte superior é zero, concluímos que anto 0.

Resposta

A sequência é convergente e limntoinfty1-cos(2^n)2^n=0.

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