Exercício 8. O vetor posição de uma partícula em movimento é
\sigma(t)=\left(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \frac{2 t}{1+t^{2}}\right)
(a) Mostre que a partícula se move sob uma circunferência de centro na origem.
(b) Em que sentido a partícula se move quando t aumenta?
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando t percorre o intervalo (-\infty, \infty) ?

Passo 1

O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo
\sigma(t) = \bigl(x(t),\,y(t)\bigr) \quad\text{com}\quad x(t)=\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}, \;y(t)=\frac{2t}{1+t^{2}},
e pede:
(a) mostrar que descreve uma circunferência de centro na origem;
(b) determinar o sentido de percurso quando t aumenta;
(c) verificar se há pontos da circunferência que não são atingidos para t\in(-\infty,\infty).

Passo 2

Para (a), calculamos
x(t)^{2}+y(t)^{2} =\biggl(\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}}\biggr)^{2} +\biggl(\frac{2t}{1+t^{2}}\biggr)^{2} =\frac{(1-t^{2})^{2}+4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{1-2t^{2}+t^{4}+4t^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{1+2t^{2}+t^{4}}{(1+t^{2})^{2}} =\frac{(1+t^{2})^{2}}{(1+t^{2})^{2}} =1.
Como x(t)^{2}+y(t)^{2}=1 para todo t, a trajetória é a circunferência unitária de centro na origem.

Passo 3

Para (b), examinamos a derivada em t=0.
\sigma'(t) =\bigl(x'(t),y'(t)\bigr), \quad x'(t)=\frac{-4t}{(1+t^{2})^{2}}, \quad y'(t)=\frac{2-2t^{2}}{(1+t^{2})^{2}}.
Em t=0 temos \sigma'(0)=(0,2), isto é, no ponto (1,0) a trajetória vai no sentido do eixo y positivo. Assim, à medida que t cresce, a partícula se desloca no sentido anti-horário.

Passo 4

Para (c), observamos o limite quando t\to\pm\infty:
\lim_{t\to\pm\infty}x(t) =\lim_{t\to\pm\infty}\frac{1-t^{2}}{1+t^{2}} =-1, \qquad \lim_{t\to\pm\infty}y(t) =\lim_{t\to\pm\infty}\frac{2t}{1+t^{2}} =0.
Logo \sigma(t)\to(-1,0) mas nunca atinge (-1,0) para t finito. Portanto, esse ponto não é percorrido.

Resposta

(a) A trajetória satisfaz x(t)^{2}+y(t)^{2}=1, ou seja, é a circunferência de raio 1 e centro na origem.
(b) A partícula se move no sentido anti-horário quando t aumenta.
(c) O único ponto da circunferência que não é atingido é (-1,0).

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