Dê uma parametrização para cada uma das curvas.
a elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1, x \leq 0

Passo 1

O enunciado pede para encontrar uma parametrização da semielipse dada por
\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1,\qquad x\le0.
O conteúdo aqui é parametrização de curvas planas: representar x e y em função de um parâmetro t.

Passo 2

Lembramos que a parametrização usual da elipse inteira é
x(t)=a\cos t,\quad y(t)=b\sin t,\quad t\in[0,2\pi],
o que percorre toda a elipse.

Passo 3

Para ficar apenas com a parte em que x\le0, basta restringir t ao intervalo em que \cos t\le0. Sabemos que
\cos t\le0\quad\Longleftrightarrow\quad t\in\bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\bigr].

Resposta

\mathbf{r}(t)=\bigl(a\cos t,\;b\sin t\bigr),\quad t\in\Bigl[\tfrac\pi2,\tfrac{3\pi}2\Bigr].

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