Exercício 8. O vetor posição de uma partícula em movimento é
(a) Mostre que a partícula se move sob uma circunferência de centro na origem.
(b) Em que sentido a partícula se move quando
aumenta?
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
percorre o intervalo
(b) Em que sentido a partícula se move quando
(c) Há pontos na circunferência que não são ocupados pela partícula quando
Passo 1
O enunciado dá a posição de uma partícula em função do tempo
e pede:
(a) mostrar que descreve uma circunferência de centro na origem;
(b) determinar o sentido de percurso quando aumenta;
(c) verificar se há pontos da circunferência que não são atingidos para .
(a) mostrar que descreve uma circunferência de centro na origem;
(b) determinar o sentido de percurso quando
(c) verificar se há pontos da circunferência que não são atingidos para
Passo 2
Para (a), calculamos
Como
para todo
, a trajetória é a circunferência unitária de centro na origem.
Passo 3
Para (b), examinamos a derivada em
.
Em
temos
, isto é, no ponto
a trajetória vai no sentido do eixo
positivo. Assim, à medida que
cresce, a partícula se desloca no sentido anti-horário.
Passo 4
Para (c), observamos o limite quando
:
Logo
mas nunca atinge
para
finito. Portanto, esse ponto não é percorrido.
Resposta
(a) A trajetória satisfaz
, ou seja, é a circunferência de raio 1 e centro na origem.
(b) A partícula se move no sentido anti-horário quando aumenta.
(c) O único ponto da circunferência que não é atingido é .
(b) A partícula se move no sentido anti-horário quando
(c) O único ponto da circunferência que não é atingido é