Exercício R.2.1.4. A viscosidade cinemática de um óleo leve é 0,033 \mathrm{~m}^{2} / \mathrm{s} e a sua densidade é 0,86 . Determinar a sua viscosidade dinâmica em unidades dos sistemas Métrico.
A peso específico da água é aproximadamente 1000 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}.
\gamma_{r}=\frac{\gamma}{\gamma_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}} \Rightarrow \gamma=\gamma_{r} \times \gamma_{\mathrm{H}_{2} \mathrm{O}}=0,86 \times 1000 \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{m}^{3}}=860 \frac{\mathrm{kgf}}{\mathrm{m}^{3}}
\gamma=\rho . g \Rightarrow \rho=\frac{\gamma}{g}=\frac{860 \mathrm{kgf} / \mathrm{m}^{3}}{9,8 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}}=87,75 \frac{\mathrm{Kgf} . \mathrm{s}^{2}}{\mathrm{~m}^{4}}\left(\frac{\mathrm{utm}}{\mathrm{m}^{3}}\right)
v=\frac{\mu}{\rho} \Rightarrow \mu=v . \rho=0,033 \frac{\mathrm{~m}^{2}}{\mathrm{~s}} \times 87,75 \frac{\mathrm{kgf} . \mathrm{s}^{2}}{\mathrm{~m}^{4}}=2,86 \frac{\mathrm{kgf} . \mathrm{s}}{\mathrm{m}^{2}}

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede uma coisa só:
  • viscosidade cinemática: v=0,033\\ \mathrm{m^{2}/s};
  • “densidade” dada como 0,86. Aqui isso significa densidade relativa (gravidade específica) em relação à água, ou seja \rho_r=0,86 (adimensional);
  • a densidade (massa específica) da água é \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} (informação fornecida).
    O que se pede: determinar a viscosidade dinâmica \mu no sistema métrico (unidade SI: \mathrm{Pa\cdot s} ou \mathrm{kg/(m\cdot s)}).

Passo 2

Conceitos e fórmulas que vamos usar (explicadas de forma simples):
  • A viscosidade cinemática v relaciona a viscosidade dinâmica \mu com a densidade de massa \rho pela fórmula
v=\frac{\mu}{\rho}.
Aqui:
  • v tem unidade \mathrm{m^{2}/s};
  • \mu tem unidade \mathrm{kg/(m\cdot s)} que é igual a \mathrm{Pa\cdot s};
  • \rho tem unidade \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Portanto, para encontrar \mu isolamos:
\mu = v\\ \rho.
  • Sobre a densidade: a densidade relativa \rho_r é definida por
\rho_r=\frac{\rho}{\rho_{\mathrm{H_2O}}},
logo
\rho=\rho_r\\ \rho_{\mathrm{H_2O}}.
Isto evita confusão com “peso específico” ou unidades de força; usamos diretamente massa por volume ( \mathrm{kg/m^{3}}), que é o apropriado na fórmula \mu=v\rho.

Passo 3

Calcular a densidade de massa \rho do óleo usando a densidade relativa fornecida:
\rho=\rho_r\\ \rho_{\mathrm{H_2O}}=0,86\times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Fazendo a conta:
\rho=860\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 4

Agora aplicar \mu=v\rho. Colocando os números:
\mu = 0,033\\ \mathrm{m^{2}/s}\times 860\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
Fazendo a multiplicação de forma clara:
0,033\times 860 = 0,033\times(800+60)=0,033\times 800 + 0,033\times 60 =26,4 + 1,98 = 28,38.
Unidades:
\mathrm{m^{2}/s}\times\mathrm{kg/m^{3}}=\mathrm{kg/(m\cdot s)}.
Portanto
\mu=28,38\\ \mathrm{kg/(m\cdot s)}.
Como \mathrm{kg/(m\cdot s)} é numericamente igual a \mathrm{Pa\cdot s}, também se pode escrever \mu=28,38\\ \mathrm{Pa\cdot s}.

Passo 5

Comentário didático rápido sobre o erro comum (para evitar confusão na prova): o enunciado deu densidade relativa 0,86. Não é necessário nem correto dividir por g neste caso. A relação \gamma=\rho g liga peso específico \gamma (força/volume) com massa específica \rho; se alguém usa \gamma expresso em unidades de força (N/m^{3}) é preciso converter corretamente para massa usando g. Mas como aqui trabalhamos com densidade relativa e com \rho_{\mathrm{H_2O}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, basta multiplicar por 0,86 para obter \rho em \mathrm{kg/m^{3}} e usar \mu=v\rho. Dividir por g quando se tem já \rho em \mathrm{kg/m^{3}} introduz um fator errado (~9,8) — foi justamente o erro no rascunho do enunciado.

Resposta

\mu=28,38\\ \mathrm{Pa\cdot s}

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