Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear no máximo 1 bombom “B”?

Passo 1

O enunciado apresenta que você comprou 3 bombons do tipo “A” e 8 bombons do tipo “B”, totalizando 11 bombons na caixa. Você retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro sorteado fica fora antes do segundo sorteio).
A pergunta é: qual é a probabilidade de sortear, entre esses dois retirados, no máximo 1 bombom “B”?
Informações relevantes:
  • Número de bombons “A”: 3.
  • Número de bombons “B”: 8.
  • Total de bombons: 11.
  • Sorteio sem reposição, ordem do sorteio não importa para o evento final (só interessa quantos “B” saíram).
  • Evento pedido: "no máximo 1 bombom B" = ocorrer 0 bombons B ou exatamente 1 bombom B.

Passo 2

Escolha do método: vou usar contagem combinatória (método clássico de contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis) porque os resultados possíveis de escolher 2 bombons dentre 11 são igualmente prováveis e é direto contar combinações favoráveis a “0 B” e “1 B”. Esse método é simples, rápido e evita trabalhar com árvores de probabilidade — embora depois eu mostre uma verificação via probabilidades sequenciais (passo alternativo).

Passo 3

Conceito necessário: combinação. A combinação \binom{n}{k} conta o número de maneiras de escolher k objetos distintos dentre n, quando a ordem não importa. Fórmula:
\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!},
onde n! (fatorial) é n!=n\cdot(n-1)\cdot\ldots\cdot1.
No nosso caso, o número total de formas de escolher 2 bombons dentre 11 (sem ordem) é
\binom{11}{2}=\frac{11\cdot10}{2\cdot1}=55.
Esses 55 pares são todos igualmente prováveis.

Passo 4

Contagem dos casos favoráveis para 0 bombom “B” (ou seja, ambos são “A”): precisamos escolher 2 “A” dentre as 3 disponíveis:
\binom{3}{2}=\frac{3\cdot2}{2\cdot1}=3.
Logo a probabilidade de retirar 0 bombons “B” é
P(\text{0 B})=\frac{3}{55}.
Explicação intuitiva: há apenas 3 pares diferentes que consistem de dois “A” (pois existem só 3 “A”).

Passo 5

Contagem dos casos favoráveis para exatamente 1 bombom “B”: escolhemos 1 “B” dentre 8 e 1 “A” dentre 3. Como a ordem não importa, o número de pares é
\binom{8}{1}\cdot\binom{3}{1}=8\cdot3=24.
Então a probabilidade de exatamente 1 “B” é
P(\text{1 B})=\frac{24}{55}.

Passo 6

Como “no máximo 1 B” corresponde a “0 B” ou “1 B” (eventos disjuntos), somamos as probabilidades:
P(\text{no máximo 1 B})=P(\text{0 B})+P(\text{1 B})=\frac{3}{55}+\frac{24}{55}=\frac{27}{55}.á
Se quiser ver em decimal, \frac{27}{55}\approx 0,4909, ou seja cerca de 49,09\%.

Passo 7

Verificação alternativa (método sequencial): calcular as probabilidades considerando ordem (primeiro e segundo sorteio) e somar os casos que dão 0 ou 1 B.
  • Probabilidade de ambos serem “A”:
\frac{3}{11}\cdot\frac{2}{10}=\frac{6}{110}=\frac{3}{55}.
  • Probabilidade de exatamente um “B”: pode acontecer (B então A) ou (A então B).
\frac{8}{11}\cdot\frac{3}{10}+\frac{3}{11}\cdot\frac{8}{10}=\frac{24}{110}+\frac{24}{110}=\frac{48}{110}=\frac{24}{55}.
Somando: \frac{3}{55}+\frac{24}{55}=\frac{27}{55}, que confirma o resultado anterior.

Resposta

\frac{27}{55}

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