Exercício 5. Você compra 3 bombons “A” e 8 bombons “B”. Ao chegar em sua residência você coloca os 11 bombons dentro de uma caixa. Desta caixa, é possível retirar um bombom de cada vez e não é possível saber qual dos dois bombons está sorteando. Em um determinado domingo, você sacode a caixa e retira dois bombons, pergunta-se: (Obs:. O bombom sorteado no primeiro sorteio fica de fora da caixa para sortear o segundo bombom)
Qual é a probabilidade de sortear no máximo 1 bombom “B”?
Qual é a probabilidade de sortear no máximo 1 bombom “B”?
Passo 1
O enunciado apresenta que você comprou
bombons do tipo “A” e
bombons do tipo “B”, totalizando
bombons na caixa. Você retira dois bombons, um de cada vez, sem reposição (ou seja, o primeiro sorteado fica fora antes do segundo sorteio).
A pergunta é: qual é a probabilidade de sortear, entre esses dois retirados, no máximo bombom “B”?
Informações relevantes:
A pergunta é: qual é a probabilidade de sortear, entre esses dois retirados, no máximo
Informações relevantes:
- Número de bombons “A”:
. - Número de bombons “B”:
. - Total de bombons:
. - Sorteio sem reposição, ordem do sorteio não importa para o evento final (só interessa quantos “B” saíram).
- Evento pedido: "no máximo
bombom " = ocorrer bombons ou exatamente bombom .
Passo 2
Escolha do método: vou usar contagem combinatória (método clássico de contagem de casos favoráveis sobre casos possíveis) porque os resultados possíveis de escolher
bombons dentre
são igualmente prováveis e é direto contar combinações favoráveis a “0 B” e “1 B”. Esse método é simples, rápido e evita trabalhar com árvores de probabilidade — embora depois eu mostre uma verificação via probabilidades sequenciais (passo alternativo).
Passo 3
Conceito necessário: combinação. A combinação
conta o número de maneiras de escolher
objetos distintos dentre
, quando a ordem não importa. Fórmula:
onde
(fatorial) é
.
No nosso caso, o número total de formas de escolher bombons dentre
(sem ordem) é
No nosso caso, o número total de formas de escolher
Esses
pares são todos igualmente prováveis.
Passo 4
Contagem dos casos favoráveis para
bombom “B” (ou seja, ambos são “A”): precisamos escolher
“A” dentre as
disponíveis:
Logo a probabilidade de retirar
bombons “B” é
Explicação intuitiva: há apenas 3 pares diferentes que consistem de dois “A” (pois existem só 3 “A”).
Passo 5
Contagem dos casos favoráveis para exatamente
bombom “B”: escolhemos
“B” dentre
e
“A” dentre
. Como a ordem não importa, o número de pares é
Então a probabilidade de exatamente
“B” é
Passo 6
Como “no máximo
B” corresponde a “0 B” ou “1 B” (eventos disjuntos), somamos as probabilidades:
Se quiser ver em decimal,
, ou seja cerca de
.
Passo 7
Verificação alternativa (método sequencial): calcular as probabilidades considerando ordem (primeiro e segundo sorteio) e somar os casos que dão 0 ou 1 B.
- Probabilidade de ambos serem “A”:
- Probabilidade de exatamente um “B”: pode acontecer (B então A) ou (A então B).
Somando:
, que confirma o resultado anterior.