Exercício 1. (Wong ex. 1.1) Ache os símbolos de cada um dos operadores diferenciais abaixo:
partialpartial x1+i partialpartial x2.

Passo 1

O enunciado pede o símbolo (ou símbolo completo) do operador diferencial
P=partialpartial x1+i,partialpartial x2
Este conceito vem da teoria de operadores de Fourier ou da definição de símbolo para operadores diferenciais de coeficientes constantes: cada derivada partial/partial xj dá origem a um fator ixij no símbolo, sujeito à convenção de sinais do transformada de Fourier.

Passo 2

Recordando a definição: se
P=sum|alpha|<= maalpha,partial^alpha,
então o símbolo completo de P é
p(xi)=sum|alpha|<= maalpha,(i,xi)^alpha
No nosso caso só há derivadas de ordem 1 em x1 e em x2.

Passo 3

Aplicando a regra a cada termo:
  • Para partial/partial x1 o símbolo é i,xi1
  • Para i,partial/partial x2 multiplica-se por i o símbolo de partial/partial x2, isto é, i;l(i,xi2r)= -,xi2

Passo 4

Somando os dois resultados, o símbolo completo de P fica
p(xi)=i,xi1-xi2

Resposta

sigmaP(xi)=i,xi1-xi2

Exercícios relacionados