Exercício 1. (Wong ex. 1.1) Ache os símbolos de cada um dos operadores diferenciais abaixo:
partial^2partial x1^2+x1^2 partial^2partial x2^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrarmos o símbolo (e, em particular, o símbolo principal) do operador diferencial
L ;=;partial^2partial x1^2 ;+;x1^2,partial^2partial x2^2
O conteúdo aqui é a teoria de símbolos de operadores diferenciais, onde associamos a cada termo aalpha(x),partial^alpha um monômio em xi.

Passo 2

Lembrando a definição: se
P=sum|alpha|<= maalpha(x),partial^alphapartial x^alpha,
então o símbolo completo de P é
p(x,xi)=sum|alpha|<= maalpha(x),xi^alpha,
e o símbolo principal é a parte de ordem exata m, ou seja
pm(x,xi)=sum|alpha|=maalpha(x),xi^alpha

Passo 3

No nosso caso só há termos de ordem 2. Identificamos os coeficientes:
  • Para partial^2/partial x1^2 temos a(2,0)(x)=1.
  • Para x1^2,partial^2/partial x2^2 temos a(0,2)(x)=x1^2.
    Não há termos de ordem menor.

Passo 4

Aplicando a definição do símbolo completo, obtemos
p(x,xi) =;1cdotxi1^2;+;x1^2cdotxi2^2 =xi1^2+x1^2,xi2^2
Como não há termos de ordem inferior, o símbolo completo coincide com o símbolo principal.

Resposta

O símbolo completo e o símbolo principal de L são ambos
boxedp(x,xi)=xi1^2+x1^2,xi2^2

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