Exercício 2. (Wong ex. 1.5 e 7.2) Seja x in R^n. Definamos |x|=raizx1^2+ldots+xn^2. Prove que
|x^alpha| <=|x|^|alpha|, para todo alpha in N0^n.

Passo 1

O enunciado pede para provar, em R^n, que para todo vetor x=(x1,dots,xn) e todo multi-índice alpha=(alpha1,dots,alphan)inN0^n vale
l|x^alphar|;<=;|x|^|alpha|,
onde
x^alpha=x1^alpha1cdots xn^alphan e |alpha|=alpha1+cdots+alphan,
e a norma de x é
|x|=raizx1^2+cdots+xn^2
Usaremos a ideia de comparar cada lvert xirvert com |x| e depois “juntar” as desigualdades.

Passo 2

Pela definição da norma euclidiana temos, para cada componente i,
lvert xirvert ;<=;raizx1^2+cdots+xn^2 ;=;|x|

Passo 3

Como alphai é um inteiro não negativo, elevamos ambos os lados à potência alphai e obtemos
lvert xirvert^alphai;<=;|x|^alphai para cada i=1,dots,n

Passo 4

Multiplicando as n desigualdades do Passo 3, uma para cada i, resulta
prodi=1^nlvert xirvert^alphai ;<=; prodi=1^n|x|^alphai ;=; |x|^sumi=1^nalphai ;=; |x|^|alpha|
Mas o lado esquerdo é exatamente lvert x^alpharvert. Portanto concluímos a desigualdade desejada.

Resposta

l|x^alphar|;<=;|x|^|alpha|

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