Exercício 2. (Wong ex. 1.5 e 7.2) Seja
. Definamos
. Prove que
, para todo
.
Passo 1
O enunciado pede para provar, em
, que para todo vetor
e todo multi-índice
vale
onde
e a norma de
x é
Usaremos a ideia de comparar cada
lvert xirvert com
|x| e depois “juntar” as desigualdades.
Passo 2
Pela definição da norma euclidiana temos, para cada componente
i ,
Passo 3
Como
alphai é um inteiro não negativo, elevamos ambos os lados à potência
alphai e obtemos
Passo 4
Multiplicando as
n desigualdades do Passo
3 , uma para cada
i , resulta
Mas o lado esquerdo é exatamente
lvert x^alpharvert . Portanto concluímos a desigualdade desejada.