Exercício1: As placas de um capacitor esférico têm 38 mm e 40 mm de raio. (a) Calcule a capacitância. (b) Qual é a área das placas de um capacitor de placas paralelas com a mesma capacitância e a mesma distância entre as placas? (c) Qual deve ser o comprimento de um capacitor cílíndrico com a=38mm, \mathrm{b}=40 \mathrm{~mm} e mesma capacitância dos casos anteriores?

Passo 1

O enunciado descreve três configurações de capacitores com raios interno a=38\\ \mathrm{mm}=0{,}038\\ \mathrm{m} e externo b=40\\ \mathrm{mm}=0{,}040\\ \mathrm{m} e pede:
(a) a capacitância de um capacitor esférico em vazio;
(b) a área de placas paralelas de separação d=b-a que dê a mesma capacitância;
(c) o comprimento de um capacitor cilíndrico com os mesmos raios e mesma capacitância.
Vamos usar as fórmulas básicas de capacitância em cada caso, tomando \varepsilon_{0}=8{,}85\times10^{-12}\\ \mathrm{F/m}.

Passo 2

Para o capacitor esférico em vazio a fórmula é
C_{\rm esférico} =4\pi\varepsilon_{0}\,\frac{a\,b}{b-a}.é
Aqui a\,b=0{,}038\times0{,}040=0{,}00152\\ \mathrm{m}^2 e b-a=0{,}002\\ \mathrm{m}, logo
C_{\rm esférico} =4\pi\,(8{,}85\times10^{-12})\,\frac{0{,}00152}{0{,}002} \approx8{,}46\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.é

Passo 3

Para placas paralelas em vazio usa-se
C_{\rm placas} =\varepsilon_{0}\,\frac{A}{d},
onde d=b-a=0{,}002\\ \mathrm{m}. Isolando A com C=C_{\rm esférico}é:
A =\frac{C\,d}{\varepsilon_{0}} =\frac{8{,}46\times10^{-11}\times0{,}002}{8{,}85\times10^{-12}} \approx1,91\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.

Passo 4

Para o capacitor cilíndrico em vazio a capacitância C em comprimento L vale
C_{\rm cilíndrico} =\frac{2\pi\varepsilon_{0}\,L}{\ln(b/a)}.í
Isolando L com C=C_{\rm esférico}é e \ln(b/a)=\ln(0{,}040/0{,}038)\approx0{,}0513:
L =\frac{C\,\ln(b/a)}{2\pi\varepsilon_{0}} =\frac{8{,}46\times10^{-11}\times0{,}0513}{2\pi\times8{,}85\times10^{-12}} \approx7,8\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Resposta

(a) C\approx8{,}46\times10^{-11}\\ \mathrm{F}.
(b) A\approx1,91\times10^{-2}\\ \mathrm{m}^2.
(c) L\approx7,8\times10^{-2}\\ \mathrm{m}.

Exercícios relacionados