Ensaios de laboratório de certa amostra de solo fornecem os seguintes resultados: \gamma=18 \mathrm{KN} / \mathrm{m}^{3} ; w=18 \% ; \gamma_{s}=27 \mathrm{KN} / \mathrm{m}^{3}. Sabe-se que, no valor encontrado para o peso específico dos grãos, pode haver erro relativo máximo de 10 \%\left(24,3 \leq \gamma_{s} \leq 29,7\right), ao passo que em \gamma e w o erro é desprezível.
a. Em que intervalo se encontra o índice de vazios?
b. Em que intervalo se encontra o grão de saturação?

Passo 1

O enunciado dá: peso específico total \gamma=18\\ \mathrm{kN/m^3}, teor de umidade w=18\%, peso específico dos grãos nominal \gamma_s=27\\ \mathrm{kN/m^3} com erro relativo de até 10\%, isto é
24{,}3 \le \gamma_s \le 29{,}7\quad(\mathrm{kN/m^3}).
Precisamos achar o intervalo do índice de vazios e e do grau de saturação S_r. Vamos usar as fórmulas
\gamma = \gamma_w\,\frac{G_s + w\,e}{1+e},
S_r = \frac{w\,G_s}{e},
onde \gamma_w=9{,}81\\ \mathrm{kN/m^3} e G_s = \gamma_s/\gamma_w.

Passo 2

Expressamos e em função de G_s. Da equação
\gamma(1+e)=\gamma_w\,(G_s + w\,e)
vem
e\,\bigl(\gamma - \gamma_w\,w\bigr)=\gamma_w\,G_s - \gamma \;\;\Longrightarrow\;\; e = \frac{\gamma_w\,G_s - \gamma}{\gamma - \gamma_w\,w}.

Passo 3

Calculamos G_s nos extremos do erro:
G_{s,\min} = \frac{24{,}3}{9{,}81}\approx 2{,}476, \quad G_{s,\max} = \frac{29{,}7}{9{,}81}\approx 3{,}028.

Passo 4

Substituímos em
e = \frac{9{,}81\,G_s - 18}{18 - 9{,}81\cdot0{,}18}.
Denominador fixo:
18 - 9{,}81\times0{,}18 = 18 - 1{,}7658 = 16{,}2342.
Para G_{s,\min}:
e_{\min}=\frac{9{,}81\times2{,}476 - 18}{16{,}2342} =\frac{6{,}289}{16{,}2342}\approx0{,}3874.
Para G_{s,\max}:
e_{\max}=\frac{9{,}81\times3{,}028 - 18}{16{,}2342} =\frac{11{,}7047}{16{,}2342}\approx0{,}7208.

Passo 5

Usamos
S_r = \frac{w\,G_s}{e},
com w=0{,}18. Avaliando nos dois casos:
Para G_{s,\min}=2{,}476 e e_{\min}=0{,}3874:
S_{r,\max} = \frac{0{,}18\times2{,}476}{0{,}3874}\approx1{,}150\;(115{,}0\%).
Para G_{s,\max}=3{,}028 e e_{\max}=0{,}7208:
S_{r,\min} = \frac{0{,}18\times3{,}028}{0{,}7208}\approx0{,}756\;(75{,}6\%).

Resposta

a. 0{,}387 \le e \le 0{,}721.
b. 0{,}756 \le S_r \le 1{,}150 (ou 75{,}6\% a 115{,}0\%).

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