Estude um circuito R L e encontre expressões para a corrente no circuito (aumentando e diminuindo) em função de t. Faça um gráfico e interprete o comportamento da curva.

Passo 1

O enunciado pede o estudo do regime transitório de um circuito série com resistor R e indutor L, encontrando a expressão da corrente i(t) quando ela está aumentando (após fechar o interruptor) e quando está diminuindo (após abrir o circuito). O conteúdo envolve equação diferencial de 1ª ordem, solução de circuitos RL e interpretação da constante de tempo

Passo 2

Para o aumento da corrente (energização), ao fechar o interruptor em t=0 aplicamos a Lei de Kirchhoff de tensão (KVL) ao laço:
L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R\,i = V
onde V é a tensão da fonte constante. Dividindo por L:
\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \frac{R}{L}\,i = \frac{V}{L}.
Esta é uma EDO linear de 1ª ordem com solução geral i(t)=i_{\infty} +\bigl(i(0)-i_{\infty}\bigr)e^{-t/\tau}, em que
i_{\infty}=\frac{V}{R}, \quad \tau=\frac{L}{R}.

Passo 3

Impondo a condição inicial i(0)=0 (corrente nula antes de fechar o interruptor), obtemos
i(t)=\frac{V}{R}\,\Bigl(1 - e^{-t/\tau}\Bigr), \quad t\ge0.

Passo 4

Para o decaimento da corrente (desenergização), ao abrir o circuito em t=0 não há mais fonte, o indutor e o resistor formam um laço fechado. Pela KVL:
L\,\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + R\,i = 0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t} + \frac{R}{L}\,i = 0.
A solução é puramente exponencial:
i(t)=i(0)\,e^{-t/\tau},
onde agora i(0)=I_0 é a corrente no exato instante de abertura.

Passo 5

O gráfico de i(t) mostra em ambos os casos comportamento exponencial com constante de tempo \tau=L/R:
  • Aumento: i(t) parte de zero com inclinação inicial máxima e se aproxima assintoticamente de V/R.
  • Decaimento: i(t) parte de I_0 e decai exponencialmente a zero.
    Em t=\tau, o valor de i(t) no aumento alcança cerca de 63% de V/R, e no decaimento cai a cerca de 37% de I_0.

Resposta

Expressões da corrente no circuito RL:
\boxed{ i_{\text{aumenta}}(t) =\frac{V}{R}\,\bigl(1 - e^{-tR/L}\bigr),\quad t\ge0 }
\boxed{ i_{\text{decai}}(t) =I_{0}\,e^{-tR/L},\quad t\ge0 }
O gráfico é exponencial: na energização aproxima-se assintoticamente de V/R e na desenergização decai a zero, ambos com constante de tempo \tau=L/R.

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