Nos exercícios 01 e 05 determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra determinar se uma função é homogênea e, se for, qual o grau de homogeneidade. A função que estamos analisando é
. A matéria envolvida aqui é funções homogêneas, que são importantes em várias áreas, como economia e matemática aplicada. Vamos precisar entender o que é uma função homogênea e como verificar se essa função específica se encaixa nessa definição.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é uma função homogênea. Uma função
é dita homogênea de grau
se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um escalar
, a função inteira é multiplicada por
. Em outras palavras:
Nosso objetivo é verificar se essa igualdade vale para a função dada e, se sim, encontrar o valor de
Passo 3
Vamos substituir
por
e
por
na função original. Então, temos:
Agora, vamos simplificar cada termo usando propriedades dos logaritmos.
Passo 4
Lembrando que
, podemos simplificar cada termo:
Então, substituindo de volta na função:
Passo 5
Vamos distribuir os coeficientes:
Agrupando os termos semelhantes:
Passo 6
Agora, vamos comparar
com
. A função original é:
Para que
Observamos que há um termo extra
que não está presente na expressão original multiplicada por
. Além disso, os termos que dependem de
e
não estão multiplicados por um fator comum
.
Resposta
Então, concluímos que a função
não é homogênea, já que não conseguimos encontrar um grau
que satisfaça a definição de função homogênea.