Nos exercícios 01 e 05 determine se a função dada é homogênea. Especifique o grau de homogeneidade quando for o caso.
ln x^2-2 ln y^2

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício que pede pra determinar se uma função é homogênea e, se for, qual o grau de homogeneidade. A função que estamos analisando é ln x^2 - 2 ln y^2. A matéria envolvida aqui é funções homogêneas, que são importantes em várias áreas, como economia e matemática aplicada. Vamos precisar entender o que é uma função homogênea e como verificar se essa função específica se encaixa nessa definição.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é uma função homogênea. Uma função f(x, y) é dita homogênea de grau k se, ao multiplicarmos todas as variáveis por um escalar t, a função inteira é multiplicada por t^k. Em outras palavras:
f(tx, ty) = t^k f(x, y)
Nosso objetivo é verificar se essa igualdade vale para a função dada e, se sim, encontrar o valor de k.

Passo 3

Vamos substituir x por tx e y por ty na função original. Então, temos:
f(tx, ty) = ln (tx)^2 - 2 ln (ty)^2
Agora, vamos simplificar cada termo usando propriedades dos logaritmos.

Passo 4

Lembrando que ln a^b = b ln a, podemos simplificar cada termo:
ln (tx)^2 = 2 ln (tx) = 2 (ln t + ln x)
-2 ln (ty)^2 = -2 cdot 2 ln (ty) = -4 (ln t + ln y)
Então, substituindo de volta na função:
f(tx, ty) = 2 (ln t + ln x) - 4 (ln t + ln y)

Passo 5

Vamos distribuir os coeficientes:
f(tx, ty) = 2 ln t + 2 ln x - 4 ln t - 4 ln y
Agrupando os termos semelhantes:
f(tx, ty) = (2 ln t - 4 ln t) + (2 ln x - 4 ln y)
f(tx, ty) = -2 ln t + 2 ln x - 4 ln y

Passo 6

Agora, vamos comparar f(tx, ty) com t^k f(x, y). A função original é:
f(x, y) = ln x^2 - 2 ln y^2 = 2 ln x - 4 ln y
Para que f(tx, ty) = t^k f(x, y), precisaríamos que:
-2 ln t + 2 ln x - 4 ln y = t^k (2 ln x - 4 ln y)
Observamos que há um termo extra -2 ln t que não está presente na expressão original multiplicada por t^k. Além disso, os termos que dependem de x e y não estão multiplicados por um fator comum t^k.

Resposta

Então, concluímos que a função ln x^2 - 2 ln y^2 não é homogênea, já que não conseguimos encontrar um grau k que satisfaça a definição de função homogênea.

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