Utilize os conhecimentos básicos sobre áreas de figuras geométricas para calcular as integrais abaixo (sem usar o TFC). Em seguida, use a Técnica de Substituição Trigonométrica para confirmar seu resultado.
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Passo 1
Esse exercício pede pra calcular a integral
sem usar o Teorema Fundamental do Cálculo, aplicando em seguida a substituição trigonométrica pra confirmar o resultado. O conteúdo de matéria envolve área de figuras planas (círculo) e técnica de substituição trigonométrica.
Passo 2
Observando que o gráfico de
entre
e
é um quarto de círculo de raio 2, podemos usar geometria pra achar a integral. A área de um círculo de raio 2 é
. Como estamos só no primeiro quadrante de
a
, a região corresponde a um quarto desse círculo. Logo,
Passo 3
Agora vamos confirmar por substituição trigonométrica. Fazemos
, então
, e quando
temos
; quando
temos
. Substituindo na integral:
Passo 4
Como
e em
temos
, fica
Passo 5
Usando a identidade
,
Passo 6
Portanto, a confirmação pelo método trigonométrico também dá
.