Utilize os conhecimentos básicos sobre áreas de figuras geométricas para calcular as integrais abaixo (sem usar o TFC). Em seguida, use a Técnica de Substituição Trigonométrica para confirmar seu resultado.
© integral0^2 raiz4-t^2 d t

Passo 1

Esse exercício pede pra calcular a integral integral0^2 raiz4 - t^2,dt sem usar o Teorema Fundamental do Cálculo, aplicando em seguida a substituição trigonométrica pra confirmar o resultado. O conteúdo de matéria envolve área de figuras planas (círculo) e técnica de substituição trigonométrica.

Passo 2

Observando que o gráfico de y=raiz4 - t^2 entre t=0 e t=2 é um quarto de círculo de raio 2, podemos usar geometria pra achar a integral. A área de um círculo de raio 2 é picdot2^2=4pi. Como estamos só no primeiro quadrante de t=0 a t=2, a região corresponde a um quarto desse círculo. Logo,
integral0^2 raiz4 - t^2,dt = 14times4pi = pi

Passo 3

Agora vamos confirmar por substituição trigonométrica. Fazemos t=2sintheta, então dt=2costheta,dtheta, e quando t=0 temos theta=0; quando t=2 temos theta=tfracpi2. Substituindo na integral:
integral0^2 raiz4 - t^2,dt = integral0^pi/2 raiz4 - 4sin^2theta ;(2costheta),dtheta

Passo 4

Como raiz4 - 4sin^2theta = 2|costheta| e em [0,tfracpi2] temos costheta>=0, fica
integral0^pi/2 2costheta ;(2costheta),dtheta = 4 integral0^pi/2 cos^2theta,dtheta

Passo 5

Usando a identidade cos^2theta = tfrac1+cos2theta2,
4 integral0^pi/2 cos^2theta,dtheta = 4 integral0^pi/2 1+cos2theta2,dtheta = 2 l[theta + tfracsin2theta2r]0^pi/2 = 2 l(tfracpi2 + 0r) = pi

Passo 6

Portanto, a confirmação pelo método trigonométrico também dá pi.

Resposta

pi

Exercícios relacionados