Nos exercícios 01 a 08, calcule
, onde
é a região descrita em cada caso.
a região do primeiro quadrante dada por
.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla de $ f(x, y) = x $ sobre a região $ D $ no primeiro quadrante, onde $ D $ é definida por $ x^2 + y^2 \leq 4 $ e $ 0 \leq x \leq y $. Isso envolve entender regiões no plano, configurar os limites de integração e aplicar a integral dupla. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a região $ D $. A condição $ x^2 + y^2 \leq 4 $ descreve um círculo de raio 2 centrado na origem. Como estamos no primeiro quadrante, $ x $ e $ y $ são positivos. Além disso, $ 0 \leq x \leq y $ significa que estamos abaixo da reta $ y = x $ nesse círculo. Então, $ D $ é uma parte do setor do círculo no primeiro quadrante onde $ y $ é maior ou igual a $ x $.
Passo 3
Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, e a área elementar $ dx,dy $ se transforma em $ r,dr,d\theta $. A condição $ x^2 + y^2 \leq 4 $ vira simplesmente $ r \leq 2 $.
Passo 4
Agora, vamos determinar os limites de $ \theta $. Sabemos que estamos no primeiro quadrante, então $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. Além disso, a condição $ x \leq y $ traduz-se em $ r \cos\theta \leq r \sin\theta $, o que simplifica para $ \cos\theta \leq \sin\theta $, ou seja, $ \theta \geq \frac{\pi}{4} $. Portanto, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $.
Passo 5
Agora, podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares:
Aqui, substituímos $ f(x, y) = x = r \cos\theta $ e $ dx, dy = r, dr, d\theta $.
Passo 6
Simplificando a expressão dentro da integral:
Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro.
Passo 7
Integrando $ r^2 $ em relação a $ r $:
Então, a integral fica:
Passo 8
Agora, vamos integrar $ \cos\theta $ em relação a $ \theta $:
Aplicando os limites:
Resposta
Portanto, o valor da integral dupla é: