Nos exercícios 01 a 08, calcule integral duplaD f(x, y) d x d y, onde D é a região descrita em cada caso.
f(x, y)=x, D a região do primeiro quadrante dada por (x, y) in R^2 / x^2+y^2 <= 4,0 <= x <= y.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de cálculo integral dupla. A questão pede para calcular a integral dupla de $ f(x, y) = x $ sobre a região $ D $ no primeiro quadrante, onde $ D $ é definida por $ x^2 + y^2 \leq 4 $ e $ 0 \leq x \leq y $. Isso envolve entender regiões no plano, configurar os limites de integração e aplicar a integral dupla. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a região $ D $. A condição $ x^2 + y^2 \leq 4 $ descreve um círculo de raio 2 centrado na origem. Como estamos no primeiro quadrante, $ x $ e $ y $ são positivos. Além disso, $ 0 \leq x \leq y $ significa que estamos abaixo da reta $ y = x $ nesse círculo. Então, $ D $ é uma parte do setor do círculo no primeiro quadrante onde $ y $ é maior ou igual a $ x $.

Passo 3

Para facilitar a integração, vamos mudar para coordenadas polares. Nas coordenadas polares, $ x = r \cos\theta $ e $ y = r \sin\theta $, e a área elementar $ dx,dy $ se transforma em $ r,dr,d\theta $. A condição $ x^2 + y^2 \leq 4 $ vira simplesmente $ r \leq 2 $.

Passo 4

Agora, vamos determinar os limites de $ \theta $. Sabemos que estamos no primeiro quadrante, então $ \theta $ varia de 0 a $ \frac{\pi}{2} $. Além disso, a condição $ x \leq y $ traduz-se em $ r \cos\theta \leq r \sin\theta $, o que simplifica para $ \cos\theta \leq \sin\theta $, ou seja, $ \theta \geq \frac{\pi}{4} $. Portanto, $ \theta $ varia de $ \frac{\pi}{4} $ a $ \frac{\pi}{2} $.

Passo 5

Agora, podemos escrever a integral dupla em coordenadas polares:
integral duplaD f(x, y), dx, dy = integraltheta = pi4^pi2 integralr=0^2 (r costheta) cdot r, dr, dtheta
Aqui, substituímos $ f(x, y) = x = r \cos\theta $ e $ dx, dy = r, dr, d\theta $.

Passo 6

Simplificando a expressão dentro da integral:
integralpi4^pi2 integral0^2 r^2 costheta, dr, dtheta
Agora, vamos integrar em relação a $ r $ primeiro.

Passo 7

Integrando $ r^2 $ em relação a $ r $:
r^2
Então, a integral fica:
r

Passo 8

Agora, vamos integrar $ \cos\theta $ em relação a $ \theta $:
costheta
Aplicando os limites:
theta

Resposta

Portanto, o valor da integral dupla é:
integral duplaD f(x, y), dx, dy = 83 ( 1 - raiz22 ) = 83 - 4raiz23

Exercícios relacionados