Se
, determine
e calcule:
Passo 1
Enunciado e conteúdo: temos a função f(x) = \frac{x+1}{x-1}. O objetivo é achar o domínio de f e calcular (f \circ f)(1/x). O tema envolve domínio de funções racionais e composição de funções, lembrando que não podemos ter denominador zero e que para compor f(f(1/x)) precisamos que 1/x esteja em Dom(f) e o valor intermediário também esteja em Dom(f).
Passo 2
Para achar o domínio de f(x) = \frac{x+1}{x-1}, observamos que o denominador não pode ser zero. Assim, x-1 \neq 0, ou seja, x \neq 1. Logo Dom(f) = {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1}.
Passo 3
Calcular f(1/x): substituímos x \to 1/x na expressão de f. Temos
Passo 4
Calcular f(f(1/x)): definimos y = f(1/x) = \frac{x+1}{1-x} e aplicamos f(y) = \frac{y+1}{y-1}. Primeiro,
e
Então,
Passo 5
Determinar domínio de (f \circ f)(1/x): precisamos que 1/x exista (x \neq 0), que 1/x \neq 1 para estar em Dom(f) (x \neq 1) e que y \neq 1 (já implica x \neq 0). Assim o domínio final da expressão é {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0,,x \neq 1}.
Resposta
Dom(f) = {x \in ℝ \mid x ≠ 1} e (f \circ f)(1/x) = \frac{1}{x}, com x ≠ 0,1.