Se f(x)=x+1x-1, determine Dom(f) e calcule: (f circ f)(1x)

Passo 1

Enunciado e conteúdo: temos a função f(x) = \frac{x+1}{x-1}. O objetivo é achar o domínio de f e calcular (f \circ f)(1/x). O tema envolve domínio de funções racionais e composição de funções, lembrando que não podemos ter denominador zero e que para compor f(f(1/x)) precisamos que 1/x esteja em Dom(f) e o valor intermediário também esteja em Dom(f).

Passo 2

Para achar o domínio de f(x) = \frac{x+1}{x-1}, observamos que o denominador não pode ser zero. Assim, x-1 \neq 0, ou seja, x \neq 1. Logo Dom(f) = {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 1}.

Passo 3

Calcular f(1/x): substituímos x \to 1/x na expressão de f. Temos
f(1/x) = (1/x) + 1(1/x) - 1 = 1+xx1-xx = 1+x1-x

Passo 4

Calcular f(f(1/x)): definimos y = f(1/x) = \frac{x+1}{1-x} e aplicamos f(y) = \frac{y+1}{y-1}. Primeiro,
y+1 = x+11-x + 1 = x+1 + (1-x)1-x = 21-x,
e
y-1 = x+11-x - 1 = x+1 - (1-x)1-x = 2x1-x
Então,
f(f(1/x)) = y+1y-1 = 21-x2x1-x = 22x = 1x

Passo 5

Determinar domínio de (f \circ f)(1/x): precisamos que 1/x exista (x \neq 0), que 1/x \neq 1 para estar em Dom(f) (x \neq 1) e que y \neq 1 (já implica x \neq 0). Assim o domínio final da expressão é {x \in \mathbb{R} \mid x \neq 0,,x \neq 1}.

Resposta

Dom(f) = {x \in ℝ \mid x ≠ 1} e (f \circ f)(1/x) = \frac{1}{x}, com x ≠ 0,1.

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