Sejam
e
tais que
. Se
, determine
.
Passo 1
O problema pede para encontrar a inversa da função racional
, com
e
. Esse tipo de função é uma transformação de Möbius, e vamos precisar usar álgebra para resolver
isolando
.
Passo 2
Começamos escrevendo
e multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração:
Passo 3
Expandindo o lado esquerdo e agrupando os termos que contêm
, temos:
Passo 4
Passamos todos os termos com
para um lado e os demais para o outro:
Passo 5
Fatorando
no lado esquerdo:
Passo 6
Como
(graças a
), podemos isolar
:
Passo 7
Finalmente, trocamos
por
para escrever a função inversa em termos de
: