Sejam a, b, c e d in R tais que a d-b c neq 0. Se f(x)=a x+bc x+d, determine f^-1.

Passo 1

O problema pede para encontrar a inversa da função racional f(x)=a x + bc x + d, com a,b,c,din R e a d - b c neq 0. Esse tipo de função é uma transformação de Möbius, e vamos precisar usar álgebra para resolver y = f(x) isolando x.

Passo 2

Começamos escrevendo y=a x + bc x + d e multiplicamos ambos os lados pelo denominador para eliminar a fração:
y(c x + d) = a x + b

Passo 3

Expandindo o lado esquerdo e agrupando os termos que contêm x, temos:
c y,x + d y = a x + b

Passo 4

Passamos todos os termos com x para um lado e os demais para o outro:
c y,x - a x = b - d y

Passo 5

Fatorando x no lado esquerdo:
x(c y - a) = b - d y

Passo 6

Como c y - aneq 0 (graças a a d - b c neq 0), podemos isolar x:
x = b - d yc y - a

Passo 7

Finalmente, trocamos y por x para escrever a função inversa em termos de x:
f^-1(x) = b - d xc x - a

Resposta

f^-1(x)=b - d xc x - a

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