Nos exercícios 09 a 12, escreva as integrais dadas com a ordem de integração invertida.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a questão está pedindo é para inverter a ordem de integração numa integral dupla. Estamos trabalhando com integrais duplas aqui, que fazem parte do cálculo multivariável. Para resolver isso, precisamos entender a região de integração e como reescrevê-la trocando a ordem das variáveis de integração.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a integral original:
Aqui, a variável externa é $ y $ que varia de 0 a 1, e para cada valor de $ y $, $ x $ varia de $ -\sqrt{1 - y^2} $ até $ 1 - y $. Isso descreve uma região no plano $ xy $. Para inverter a ordem, precisamos descrever essa mesma região, mas agora primeiro variando $ x $ e depois $ y $.
Passo 3
Vamos entender melhor os limites:
- Limites de $ y $: $ 0 \leq y \leq 1 $
- Limites de $ x $: $ -\sqrt{1 - y^2} \leq x \leq 1 - y $
A equação $ x = -\sqrt{1 - y^2} $ vem de $ x^2 + y^2 = 1 $, que é a equação de um círculo de raio 1. Já $ x = 1 - y $ é uma reta.
Para inverter a ordem, precisamos achar para cada $ x $, quais são os valores de $ y $ que estão na região. Vamos desenhar ou imaginar o gráfico:
- A reta $ x = 1 - y $ intercepta o círculo $ x^2 + y^2 = 1 $ em alguns pontos que determinam nossa região de integração.
- Observamos que $ x $ varia de $ -1 $ até $ 1 $. Mas, inicialmente, olhando os limites dados, quando $ y = 0 $, $ x $ vai de $ -1 $ até $ 1 $. E quando $ y = 1 $, $ x = 0 $.
Agora, para cada $ x $, $ y $ varia de $ 0 $ até $ \sqrt{1 - x^2} $ (a parte superior do círculo) ou até $ 1 - x $ (a reta), dependendo de onde estamos na região.
Observando bem, a região está limitada pela reta e pelo círculo. Então, para inverter, precisamos identificar os pontos de interseção:
Resolvendo $ 1 - y = -\sqrt{1 - y^2} $:
Então, os pontos de interseção são $ y = 0 $ e $ y = 1 $.
Passo 4
Agora, com isso em mente, para inverter a ordem de integração:
- $ x $ varia de $ -1 $ a $ 0 $ e de $ 0 $ a $ 1 $.
- Para $ x $ de $ -1 $ a $ 0 $, $ y $ varia de $ 0 $ a $ \sqrt{1 - x^2} $.
- Para $ x $ de $ 0 $ a $ 1 $, $ y $ varia de $ 0 $ a $ 1 - x $.
Então, a integral com ordem invertida fica dividida em duas partes:
Resposta
A ordem de integração invertida é: