Nos exercícios de 01 a 14 abaixo verifique se as funções são lineares.
T: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}, T(x)=\operatorname{sen} \mathrm{x}.

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos verificar se
T\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R},\quad T(x)=\sin x
é uma transformação linear. Para isso precisamos checar duas propriedades fundamentais:
  1. Aditividade: T(x+y)=T(x)+T(y).
  2. Homogeneidade: T(\alpha x)=\alpha\,T(x).

Passo 2

Testando a aditividade, calculamos
T(x+y)=\sin(x+y)=\sin x\cos y+\cos x\sin y
enquanto
T(x)+T(y)=\sin x+\sin y.
Em geral \sin x\cos y+\cos x\sin y\neq \sin x+\sin y. Por exemplo, tomando x=y=\tfrac{\pi}{2},
T\bigl(\tfrac{\pi}{2}+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=\sin\pi=0 \quad\text{mas}\quad T\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+T\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1+1=2.
Logo a aditividade falha.

Passo 3

Como já não se verifica T(x+y)=T(x)+T(y), a transformação T não pode ser linear. (Note também que a homogeneidade falha em geral, pois \sin(\alpha x)\neq \alpha\sin x.)

Resposta

A função T(x)=\sin x não é linear.

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