Nos exercícios (01 → 14, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
- (T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 y, x)).
Passo 1
O enunciado define o operador linear
por
Queremos encontrar o polinômio característico de
, em seguida seus autovalores e autovetores, e finalmente dar uma base e a dimensão de cada autoespaço.
Passo 2
Primeiro, escrevemos a matriz de
na base canônica
. Se
então
Logo a matriz de
é
Passo 3
O polinômio característico de
é dado por
Passo 4
Resolvendo
obtém-se os autovalores
e
.
Passo 5
Para
Da primeira equação vem . Logo o autoespaço
tem base
e dimensão
.
Para
resolvemos
, isto é
Da primeira equação vem . Logo o autoespaço
tem base
e dimensão
.
Resposta
Os autovalores são
O autoespaço de
O autoespaço de