Nos exercícios (01 → 14, determine o polinômio característico de cada operador linear, encontre seus autovalores e autovetores e dê uma base e a dimensão de cada autoespaço correspondente.
  1. (T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2}, T(x, y)=(2 y, x)).

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Tcolon R^2toR^2 por
T(x,y) = (2y,,x)
Queremos encontrar o polinômio característico de T, em seguida seus autovalores e autovetores, e finalmente dar uma base e a dimensão de cada autoespaço.

Passo 2

Primeiro, escrevemos a matriz de T na base canônica (1,0),(0,1). Se v=(x,y) então
T(x,y) = 0 & 2 [6pt] 1 & 0 x y
Logo a matriz de T é
M = 0 & 2 [3pt] 1 & 0 ]

Passo 3

O polinômio característico de M é dado por
det(M - lambda I) = det!-lambda & 2[3pt]1 & -lambda = lambda^2 - 2 ]

Passo 4

Resolvendo
lambda^2 - 2 = 0
obtém-se os autovalores
lambda1 = raiz2 e lambda2 = -raiz2.

Passo 5

Para
Da primeira equação vem . Logo o autoespaço tem base e dimensão .
Para resolvemos , isto é
Da primeira equação vem . Logo o autoespaço tem base e dimensão .

Resposta

pT(lambda)=lambda^2 - 2
Os autovalores são lambda1=raiz2 e lambda2=-raiz2.
O autoespaço de lambda1 tem base (raiz2,1) e dimensão 1.
O autoespaço de lambda2 tem base (raiz2,-1) e dimensão 1.

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