Sejam e as transformações lineares definidas, respectivamente, por e . Considerando-se as bases e ,
a) determine as matrizes e ,
b) defina a transformação e
c) decida se é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá duas transformações lineares , , e , .
As bases são em , em e em .
Vamos primeiro achar as matrizes de e nessas bases e depois a de .
Passo 2
Calculamos [[f]_{\beta}^{\alpha}) enviando cada vetor de por e escrevendo em coordenadas de .
Para :
Procuramos tais que
Isso dá o sistema
cuja solução é ((c_1,c_2,c_3)=(0,0,-1)]. Essa é a primeira coluna.
Para
Resolvendo
vem
com solução ((c_1,c_2,c_3)=(-2,-3,3)]. Essa é a segunda coluna.
Portanto
Passo 3
Agora [g]gamma^beta. Para (a,b,c) genérico,
g(a,b,c)=(a+b),x + c
Queremos alpha,beta tais que
(a+b)x + c = alpha,(x-1) + beta,(x+1) =l(alpha+betar)x +(beta-alpha)
Igualando coeficientes,
alpha+beta = a+b, beta-alpha = c,
resultando em alpha=tfraca+b-c2, beta=tfraca+b+c2.
Aplicando isso a cada vetor de beta:
Para (0,1,1): a+b=1,;c=1 dá alpha=0,;beta=1.
Para (1,0,0): a+b=1,;c=0 dá alpha=tfrac12,;beta=tfrac12.