Sejam f: R^2 R^3 e g: R^3 P1(x) as transformações lineares definidas, respectivamente, por f(x, y)=(x, 2 y, x-y) e g(a, b, c)=(a+b) x+c. Considerando-se as bases alpha=(-1,0),(0,-1), beta=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) e gamma=x-1, x+1,
a) determine as matrizes [f]beta^alpha,[g]gamma^beta e [g circ f]gamma^alpha,
b) defina a transformação g circ f e
c) decida se g circ f é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá duas transformações lineares
fcolon R^2toR^3, ,f(x,y)=(x,2y,x-y), e
gcolon R^3toP1(x), ,g(a,b,c)=(a+b),x + c.
As bases são
alpha=(-1,0),(0,-1) em R^2,
beta=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) em R^3 e
gamma=x-1,;x+1 em P1(x).
Vamos primeiro achar as matrizes de f e g nessas bases e depois a de gcirc f.

Passo 2

Calculamos [[f]_{\beta}^{\alpha}) enviando cada vetor de por e escrevendo em coordenadas de .
Para :
Procuramos tais que
Isso dá o sistema
cuja solução é ((c_1,c_2,c_3)=(0,0,-1)]. Essa é a primeira coluna.
Para
Resolvendo
vem
com solução ((c_1,c_2,c_3)=(-2,-3,3)]. Essa é a segunda coluna.
Portanto

Passo 3

Agora [g]gamma^beta. Para (a,b,c) genérico,
g(a,b,c)=(a+b),x + c
Queremos alpha,beta tais que
(a+b)x + c = alpha,(x-1) + beta,(x+1) =l(alpha+betar)x +(beta-alpha)
Igualando coeficientes,
alpha+beta = a+b, beta-alpha = c,
resultando em
alpha=tfraca+b-c2, beta=tfraca+b+c2.
Aplicando isso a cada vetor de beta:
  1. Para (0,1,1): a+b=1,;c=1
    alpha=0,;beta=1.
  2. Para (1,0,0): a+b=1,;c=0
    alpha=tfrac12,;beta=tfrac12.
  3. Para (1,0,1): a+b=1,;c=1
    alpha=0,;beta=1.
Logo
[g]gamma^beta = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac12 & 1

Passo 4

Para [gcirc f]gamma^alpha basta multiplicar
[g]gamma^beta;times;[f]beta^alpha = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac12 & 1 0 & -2 0 & -3 -1& 3 = 0cdot0+tfrac12cdot0+0cdot(-1) & 0cdot(-2)+tfrac12cdot(-3)+0cdot3 1cdot0+tfrac12cdot0+1cdot(-1)&1cdot(-2)+tfrac12cdot(-3)+1cdot3 = 0 & -tfrac32 -1 & -tfrac12

Passo 5

A transformação composta gcirc fcolonR^2toP1(x) é
(gcirc f)(x,y) = gl(f(x,y)r) = gl(x,2y,x-yr) = l(x+2yr),x ;+;(x-y)
Em outras palavras, (gcirc f)(x,y) é o polinômio
l(x+2yr)x + (x-y)

Passo 6

Para ver se gcirc f é isomorfismo, basta olhar o determinante de [gcirc f]gamma^alpha:
det 0 & -tfrac32 -1 & -tfrac12 =0cdotl(-tfrac12r)-l(-tfrac32r)cdot(-1) =-tfrac32neq0
Como o determinante é não nulo e dimR^2=dimP1(x)=2, gcirc f é um isomorfismo.

Resposta

[a]
[f]beta^alpha = 0 & -2 0 & -3 -1& 3 , [g]gamma^beta = 0 & tfrac12 & 0 1 & tfrac12 & 1 , [gcirc f]gamma^alpha = 0 & -tfrac32 -1 & -tfrac12
[b]
(gcirc f)(x,y) = (x+2y),x + (x-y)
[c]
gcirc f é isomorfismo (determinante -tfrac32neq0).

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