P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo
, onde
é o conjunto dos reais positivos, a operação de “soma”
entre dois elementos
e
de
é definida por
e a operação de “multiplicação escalar” entre um elemento
e um elemento
de
é definida por
.
O quádruplo
Passo 1
O enunciado pede para decidir se o quádruplo
, onde
,
e
,
é um espaço vetorial sobre o corpo .
Para isso vamos checar que (i) é um grupo abeliano e (ii) que as operações de escalar satisfazem os axiomas de espaço vetorial.
é um espaço vetorial sobre o corpo
Para isso vamos checar que (i)
Passo 2
Verificamos que
é um grupo abeliano:
- Fechamento: se
e então , logo . - Associatividade:
. - Comutatividade:
. - Elemento neutro: existe
tal que para todo ; basta pois . - Inverso: para todo
existe com .
Passo 3
Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar:
- Compatibilidade de escalares:
- Distributividade em relação à soma de escalares:
- Distributividade em relação à “soma” de vetores:
- Elemento unidade do corpo:
o que garante o axioma
.
5. A ação do escalar zero dá o vetor zero (que aqui é ):
5. A ação do escalar zero dá o vetor zero (que aqui é
logo
coincide com o elemento neutro de
.
Passo 4
Como todos os axiomas de grupo abeliano em
e de compatibilidade de
com a estrutura de corpo foram satisfeitos, concluímos que
é de fato um espaço vetorial sobre
.
Resposta
O quádruplo
é um espaço vetorial sobre
.