P 5.2. Decida se os seguintes conjuntos, munidos das operações indicadas sobre os corpos indicados, possuem ou não a estrutura de espaço linear.
O quádruplo (R^+, oplus, otimes, R), onde R^+é o conjunto dos reais positivos, a operação de “soma” oplus entre dois elementos x e y de R^+é definida por x oplus y=x y e a operação de “multiplicação escalar” entre um elemento alpha in R e um elemento x de R^+é definida por alpha otimes x=x^alpha.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se o quádruplo l(R^+,oplus,otimes,Rr), onde
R^+=xinRmid x>0,
xoplus y=xy e alphaotimes x=x^alpha,
é um espaço vetorial sobre o corpo R.
Para isso vamos checar que (i) l(R^+,oplusr) é um grupo abeliano e (ii) que as operações de escalar satisfazem os axiomas de espaço vetorial.

Passo 2

Verificamos que l(R^+,oplusr) é um grupo abeliano:
  • Fechamento: se x>0 e y>0 então xoplus y=xy>0, logo xyinR^+.
  • Associatividade: (xoplus y)oplus z=(xy)z=x(yz)=xoplus(yoplus z).
  • Comutatividade: xoplus y=xy=yx=yoplus x.
  • Elemento neutro: existe einR^+ tal que eoplus x= x para todo x; basta e=1 pois 1cdot x=x.
  • Inverso: para todo x>0 existe x^-1inR^+ com xoplus x^-1=xx^-1=1.

Passo 3

Agora checamos os axiomas de multiplicação escalar:
  1. Compatibilidade de escalares:
alphaotimes(betaotimes x) =alphaotimesl(x^betar) =l(x^betar)^alpha =x^alphabeta =(alphabeta)otimes x
  1. Distributividade em relação à soma de escalares:
(alpha+beta)otimes x =x^alpha+beta =x^alphax^beta =(alphaotimes x)oplus(betaotimes x)
  1. Distributividade em relação à “soma” de vetores:
alphaotimes(xoplus y) =alphaotimes(xy) =(xy)^alpha =x^alphay^alpha =(alphaotimes x)oplus(alphaotimes y)
  1. Elemento unidade do corpo:
1otimes x =x^1 =x,
o que garante o axioma 1otimes v=v.
5. A ação do escalar zero dá o vetor zero (que aqui é 1):
0otimes x =x^0 =1,
logo 0otimes x coincide com o elemento neutro de oplus.

Passo 4

Como todos os axiomas de grupo abeliano em oplus e de compatibilidade de otimes com a estrutura de corpo foram satisfeitos, concluímos que l(R^+,oplus,otimes,Rr) é de fato um espaço vetorial sobre R.

Resposta

O quádruplo l(R^+,oplus,otimes,Rr) é um espaço vetorial sobre R.

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