P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
polinómios reais p(x) que se anulam em x=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o conjunto
E = ,p(x)mid pin R[x] e p(0)=0
é um espaço linear (subespaço de R[x]) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar:
  1. presença do vetor zero em E,
  2. fechamento de E sob adição,
  3. fechamento de E sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificar se o polinômio zero está em E. O polinômio p(x)=0 satisfaz
p(0)=0,
logo pin E.

Passo 3

Verificar fechamento sob adição. Sejam p,qin E, ou seja, p(0)=0 e q(0)=0. Então
(p+q)(0) = p(0) + q(0) = 0 + 0 = 0,
portanto p+qin E.

Passo 4

Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Para alphainR e pin E, temos
(alpha p)(0) = alpha,p(0) = alphacdot 0 = 0,
logo alpha pin E.

Passo 5

Como E contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que E é um subespaço de R[x], isto é, um espaço linear.

Resposta

O conjunto ,p(x)inR[x]mid p(0)=0 é um espaço linear.

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