P 5.1. Diga, justificando, quais dos seguintes conjuntos são espaços lineares (considere as operações usuais de adição e multiplicação por um número real).
polinómios reais
que se anulam em
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o conjunto
é um espaço linear (subespaço de
) com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar. Para isso, vamos checar:
- presença do vetor zero em
, - fechamento de
sob adição, - fechamento de
sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificar se o polinômio zero está em
. O polinômio
satisfaz
logo
.
Passo 3
Verificar fechamento sob adição. Sejam
, ou seja,
e
. Então
portanto
.
Passo 4
Verificar fechamento sob multiplicação por escalar. Para
e
, temos
logo
.
Passo 5
Como
contém o vetor zero e é fechado sob soma e multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
, isto é, um espaço linear.
Resposta
O conjunto
é um espaço linear.