Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{2} e W=\{(x, y) \mid y=m x, m \in \mathbb{R}\}.

Passo 1

O enunciado dá o espaço vetorial V=\mathbb{R}^2 e o subconjunto
W = \{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid y = m x,\\ m\in\mathbb{R}\}.
Pergunta-se se W é subespaço de V. Para isso usamos a definição de subespaço:
1. W\neq\emptyset e contém o vetor zero.
2. Sempre que u,v\in W, então u+v\in W.
3. Sempre que u\in W e \lambda\in\mathbb{R}, então \lambda u\in W.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero está em W. Como em qualquer m vale
0 = m\cdot 0,
temos (0,0)\in W. Logo W não é vazio e satisfaz o primeiro requisito.

Passo 3

Agora testamos a estabilidade por soma. Tomemos dois vetores em W:
u = (1,0)\quad\text{e}\quad v = (-1,1).
Eles pertencem a W pois em u vale 0 = 0 \cdot 1 (i.e.\ m=0) e em v vale 1 = (-1) \cdot (-1) (i.e.\ m=-1). A soma é
u + v = (1,0) + (-1,1) = (0,1).
Para (0,1) existir um m real com 1 = m \cdot 0 seria necessário 1=0, o que é impossível. Logo (0,1) \notin W.

Resposta

W não é subespaço de \mathbb{R}^2, pois não é fechado sob soma de vetores.

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