Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado dá o espaço vetorial
e o subconjunto
Pergunta-se se
é subespaço de
. Para isso usamos a definição de subespaço:
.
e contém o vetor zero.
. Sempre que
, então
.
. Sempre que
e
, então
.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero está em
. Como em qualquer
vale
temos
. Logo
não é vazio e satisfaz o primeiro requisito.
Passo 3
Agora testamos a estabilidade por soma. Tomemos dois vetores em
:
Eles pertencem a
pois em
vale
(i.e.\
) e em
vale
(i.e.\
). A soma é
Para
existir um
real com
seria necessário
, o que é impossível. Logo
.