Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{n} e W=\{v \in V \mid A v=0, A uma matriz m \times n e 0 a matriz nula m \times 1\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V=\mathbb{R}^n e o subconjunto
W = \{\,v\in V \mid A\,v = 0\},
onde A é uma matriz m\times n e 0 é o vetor coluna nulo em \mathbb{R}^m.
Queremos mostrar que W é um subespaço de V. O conteúdo aqui é a definição de subespaço: basta verificar que
  1. W contém o vetor zero;
  2. W é fechado sob soma de vetores;
  3. W é fechado sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Verificamos que o vetor zero de V está em W. De fato, como A é linear,
A\,0 = 0
(em que o primeiro 0 é o vetor coluna nulo de \mathbb{R}^n e o segundo 0 é o nulo de \mathbb{R}^m). Logo, 0\in W.

Passo 3

Mostramos a clausura sob soma. Sejam u,v\in W. Então por definição A\,u=0 e A\,v=0. Usando a linearidade de A,
A\,(u+v) = A\,u + A\,v = 0 + 0 = 0.
Logo u+v\in W.

Passo 4

Mostramos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja v\in W e \lambda\in\mathbb{R}. Como A\,v=0,
A\,(\lambda v) = \lambda\,(A\,v) = \lambda\cdot 0 = 0.
Logo \lambda v\in W.

Resposta

Como W contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que W é um subespaço de V=\mathbb{R}^n.

Exercícios relacionados