Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=\mathbb{R}^{4} e W=\{(x, y, z, t) \mid z=x+2 y e t=x-3 y\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = \mathbb{R}^4 e o subconjunto
W = \{(x,y,z,t)\in\mathbb{R}^4 \mid z = x + 2y,\; t = x - 3y\}.
Para provar que W é subespaço de V usando a definição, precisamos verificar três propriedades:
  1. O vetor zero de V pertence a W.
  2. W é fechado sob adição.
  3. W é fechado sob multiplicação escalar.

Passo 2

Verificamos a presença do vetor zero (0,0,0,0). Substituindo x=0 e y=0 nas equações de W, temos
z = 0 + 2\cdot0 = 0, \quad t = 0 - 3\cdot0 = 0.
Logo (0,0,0,0)\in W.

Passo 3

Fechamento sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em W:
u = (x_1,y_1,z_1,t_1), \; v = (x_2,y_2,z_2,t_2),
com z_1 = x_1 + 2y_1,\; t_1 = x_1 - 3y_1 e z_2 = x_2 + 2y_2,\; t_2 = x_2 - 3y_2. Então
u+v = (x_1+x_2,\;y_1+y_2,\;z_1+z_2,\;t_1+t_2).
Calculamos
z_1+z_2 = (x_1+2y_1)+(x_2+2y_2) = (x_1+x_2) + 2(y_1+y_2),
t_1+t_2 = (x_1-3y_1)+(x_2-3y_2) = (x_1+x_2) - 3(y_1+y_2).
Isso mostra que u+v satisfaz as mesmas relações e, portanto, u+v\in W.

Passo 4

Fechamento sob multiplicação escalar. Seja \lambda\in\mathbb{R} e u=(x,y,z,t)\in W, com z = x+2y,\; t = x-3y. Então
\lambda u = (\lambda x,\;\lambda y,\;\lambda z,\;\lambda t).
Como
\lambda z = \lambda(x+2y) = (\lambda x) + 2(\lambda y),
\lambda t = \lambda(x-3y) = (\lambda x) - 3(\lambda y),
vemos que \lambda u também satisfaz as equações de W. Logo \lambda u\in W.

Resposta

W é subespaço de \mathbb{R}^4.

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