Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Para provar que
é subespaço de
usando a definição, precisamos verificar três propriedades:
- O vetor zero de
pertence a . -
é fechado sob adição. -
é fechado sob multiplicação escalar.
Passo 2
Verificamos a presença do vetor zero
. Substituindo
e
nas equações de
, temos
Logo
.
Passo 3
Fechamento sob adição. Tomemos dois vetores arbitrários em
:
com
e
. Então
Calculamos
Isso mostra que
satisfaz as mesmas relações e, portanto,
.
Passo 4
Fechamento sob multiplicação escalar. Seja
e
, com
. Então
Como
vemos que
também satisfaz as equações de
. Logo
.