Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
uma matriz
e 0 a matriz nula
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
onde
é uma matriz
e
é o vetor coluna nulo em
.
Queremos mostrar que é um subespaço de
. O conteúdo aqui é a definição de subespaço: basta verificar que
Queremos mostrar que
-
contém o vetor zero; -
é fechado sob soma de vetores; -
é fechado sob multiplicação por escalar.
Passo 2
Verificamos que o vetor zero de
está em
. De fato, como
é linear,
(em que o primeiro
é o vetor coluna nulo de
e o segundo
é o nulo de
). Logo,
.
Passo 3
Mostramos a clausura sob soma. Sejam
. Então por definição
e
. Usando a linearidade de
,
Logo
.
Passo 4
Mostramos a clausura sob multiplicação por escalar. Seja
e
. Como
,
Logo
.
Resposta
Como
contém o vetor zero, é fechado sob soma e fechado sob multiplicação por escalar, concluímos que
é um subespaço de
.