Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial
e um subconjunto desse espaço
. Se
for um subespaço de
, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
e
.
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
(polinômios de grau
) e o subconjunto
Queremos mostrar que
é subespaço de
, ou seja, verificar:
.
.
. Se
então
.
. Se
e
é escalar, então
.
Passo 2
Mostramos que o polinômio nulo está em
.
O polinômio nulo é , que corresponde a
.
Como
O polinômio nulo é
Como
vemos que
.
Passo 3
Verificamos fechamento sob adição.
Sejam
Sejam
com
e
. Então
Como
segue que
satisfaz a relação e, portanto,
.
Passo 4
Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja em
, logo
. Para um escalar
,
Seja
Como
vemos que
também satisfaz a condição e, então,
.