Nos exercícios de 01 a 23 abaixo são dados um espaço vetorial V e um subconjunto desse espaço W. Se W for um subespaço de V, use a definição de subespaço para provar este fato. Caso contrário, exiba um exemplo que justifique sua conclusão.
V=P_{2}(x) e W=\left\{p(x)=a x^{2}+b x+c \mid a+b=c\right\}.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = P_{2}(x) (polinômios de grau <=2) e o subconjunto
W = \{\,p(x)=a x^{2}+b x+c \mid a+b=c\}.
Queremos mostrar que W é subespaço de V, ou seja, verificar:
1. 0\in W.
2. Se p,q\in W então p+q\in W.
3. Se p\in W e \alpha é escalar, então \alpha p\in W.

Passo 2

Mostramos que o polinômio nulo está em W.
O polinômio nulo é p(x)=0, que corresponde a a=b=c=0.
Como
a+b = 0+0 = 0 = c,
vemos que 0\in W.

Passo 3

Verificamos fechamento sob adição.
Sejam
p(x)=a_{1}x^{2}+b_{1}x+c_{1},\quad q(x)=a_{2}x^{2}+b_{2}x+c_{2}
com a_{1}+b_{1}=c_{1} e a_{2}+b_{2}=c_{2}. Então
(p+q)(x)=(a_{1}+a_{2})x^{2}+(b_{1}+b_{2})x+(c_{1}+c_{2}).
Como
(a_{1}+a_{2}) + (b_{1}+b_{2}) = (a_{1}+b_{1}) + (a_{2}+b_{2}) = c_{1}+c_{2},
segue que p+q satisfaz a relação e, portanto, p+q\in W.

Passo 4

Verificamos fechamento sob multiplicação por escalar.
Seja p(x)=a x^{2}+b x+c em W, logo a+b=c. Para um escalar \alpha,
(\alpha p)(x)= (\alpha a)x^{2}+(\alpha b)x+(\alpha c).
Como
(\alpha a)+(\alpha b) = \alpha\,(a+b) = \alpha\,c,
vemos que \alpha p também satisfaz a condição e, então, \alpha p\in W.

Resposta

W é subespaço de V.

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